De nouvelles propriétés du pic épidémique

      N. Bacaër, F. Hamelin, H. Inaba: De nouvelles propriétés du pic épidémique.
                            Quadrature 119 (2021) p. 40-47

                 Nicolas Bacaër^1, Frédéric Hamelin^2, Hisashi Inaba^3

     1: Unité de modélisation mathématique et informatique des systèmes complexes
                      Institut de recherche pour le développement
                                     Paris, France
                                 nicolas.bacaer@ird.fr

           2: Institut de génétique, environnement et protection des plantes
         Institut national de recherche pour l'agriculture, l'alimentation et
                                    l'environnement
                                    Rennes, France

                            3: Département de mathématiques
                                  Université de Tokyo
                                     Tokyo, Japon

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       3;用kudasai5._
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       avtomaticheskim perevodchikom Vashego brauzera.
     * [zh]
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    Résumé

   On étudie une épidémie modélisée par un système différentiel de type S-I-R ou
   S-E-I-R. Pour le modèle S-I-R, on montre que la date du pic épidémique n'est pas
   toujours une fonction décroissante du taux de contact. Pour le modèle S-E-I-R,
   lorsque la population N est grande, de nouveaux éléments tendent à confirmer la
   conjecture selon laquelle le pic épidémique a lieu au temps T, avec \(\ T \sim
   (\ln N)/\lambda\ \), où l est la plus grande valeur propre du système linéarisé.

1.   Introduction

   On a commencé à étudier dans [[1]2] la date du pic épidémique du modèle S-I-R de
   Kermack et McKendrick [[2]1, chapitre 18] \[\frac{dS}{dt} = -a S
   \frac{I}{N},\quad \frac{dI}{dt} = a S \frac{I}{N} - b I,\quad \frac{dR}{dt} = b
   I, \] dans le cas où a > b et où la population N est grande. La variable
   \(\,S(t)\) est le nombre de personnes non infectées,  \(I(t)\)  le nombre de
   personnes infectées,  \(R(t)\)  le nombre de personnes retirées de la
   transmission. La population totale \(\ N=S+I+R\ \) est constante. Le paramètre a
   est le taux de contact effectif et b le taux auquel les personnes infectées
   cessent d'être infectieuses. Lorsque la population N est grande, le pic
   épidémique (qui correspond au maximum de I) a lieu au temps T, \[T \sim \frac{\ln
   N}{\lambda}\] et  \(\lambda=a-b\). Autrement dit, l est le taux de croissance du
   nombre de personnes infectées dans le système linéarisé \(\ dI/dt \simeq
   (a-b)I\)  au début de l'épidémie, lorsque  \(S\simeq N\).

   Dans [[3]3], on a brièvement conjecturé que l'équivalent en \(\ (\ln
   N)/\lambda\)  pour la date du pic était la même dans le modèle S-E-I-R, qui
   inclut une phase latente (notée E) avant que les personnes infectées deviennent
   infectieuses, \begin{eqnarray} \frac{dS}{dt} &=& -a S \frac{I}{N},\tag{1}\\
   \frac{dE}{dt} &=& a S \frac{I}{N} - b E,\tag{2}\\ \frac{dI}{dt} &=& b E-c
   I,\tag{3}\\ \frac{dR}{dt} &=& c I,\tag{4} \end{eqnarray} avec  \(a>c\ \), à
   condition de prendre pour  \(\lambda\)  la plus grande valeur propre du système
   linéarisé au début de l'épidémie, c'est-à-dire la plus grande valeur propre de la
   matrice \[M=\left (\begin{array}{cc} -b & a\\ b & -c \end{array} \right ). \]
   Dans [[4]7], Piovella s'est aussi intéressé à la date du pic épidémique dans le
   modèle S-E-I-R lorsque le rapport a/c
   est proche de 1, sans toutefois que ses approximations soient complètement
   justifiées d'un point de vue mathématique.

   Dans la section 2, on rappelle tout d'abord un résultat apparemment oublié (y
   compris dans [[5]2]) de [[6]5, chapitre 2] pour le modèle S-I-R, qui précise le
   développement asymptotique de T : \begin{eqnarray*} T&=&\frac{\ln \frac{N}{I(0)}
   + f(\mathcal{R}_0) }{\lambda} + o(1),\quad N\to +\infty, \end{eqnarray*}
   \(\mathcal{R}_0=a/b\)  est la reproductivité,  \(\lambda=a-b\ \) le taux de
   croissance, et f une fonction assez compliquée. Ce résultat semble ne figurer
   dans aucun livre ou article publié depuis [[7]5], ce qui est un peu étonnant pour
   un modèle aussi simple et aussi connu.

   On montre dans la suite de la section 2 que \[f(\mathcal{R}_0) = \ln \Bigl [
   2(\mathcal{R}_0-1)^2 \Bigr ]+o(1), \quad \mathcal{R}_0\to 1^+.\] On en déduit que
   la date du pic épidémique n'est pas toujours une fonction décroissante du taux de
   contact effectif a, mais que ceci ne s'observe que pour des valeurs de la
   reproductivité proches de 1. La date du pic atteint un maximum pour
   \[\mathcal{R}_0 \simeq 1+\mathrm{e}\, \sqrt{\frac{I(0)}{2N}},\] où e est la base
   des logarithmes népériens. Cette observation semble nouvelle.

   Dans la section 3, on se tourne vers le modèle S-E-I-R. On rappelle ce que l'on
   sait sur la taille finale de l'épidémie. On précise ce que l'on entend par pic
   épidémique dans ce cadre, à savoir le point où E+I atteint un maximum. On trouve
   une nouvelle borne inférieure pour ce pic compatible avec la conjecture sur le
   comportement asymptotique. On présente quelques simulations pour illustrer cette
   conjecture.

2.   Le modèle S-I-R

  2.1 Une expression intégrale de T

   Pour le modèle S-I-R, supposons \[S(0)=N-i,\quad I(0)=i,\quad R(0)=0,\] avec  \(0
   < i < N\). Supposons \(a>b\)  et  \(N\)  assez grand pour que  \(a(1-i/N)>b\),
   c'est-à-dire \(\frac{dI}{dt}(0) > 0\). Comme dans [[8]2] (où l'on avait pris
   i=1), on a \[ \frac{1}{S} \frac{dS}{dt} = -\frac{a}{bN} \frac{dR}{dt}\quad ,\quad
   \ln \frac{S(t)}{S(0)} = -\frac{a}{bN} R(t). \] Donc \[ \frac{dS}{dt} =-a
   \frac{S}{N} (N-S-R)=-a \frac{S}{N} \left (N-S+\frac{bN}{a}\ln \frac{S(t)}{S(0)}
   \right ).\] Le pic de  \(I(t)\)  a lieu au temps T où dI/dt=0, ce qui intervient
   lorsque \(\ S=Nb/a\). On en déduit que \begin{equation}\tag{5} T=\frac{1}{a}
   \int_{b/a}^{1-i/N} \frac{ds}{ s \left (1-s+\frac{b}{a} \ln s - \frac{b}{a} \ln
   (1-i/N)\right )}. \end{equation}

  2.2   La formule de Lauwerier quand  \(N\to +\infty\)

   On définit  \(\varepsilon = -\frac{b}{a} \ln(1-\frac{i}{N})\). Avec l'astuce de
   [[9]5, p. 12], on a \(\ T=T_1+T_2\) avec \begin{eqnarray*} T_1&=&\frac{1}{a}
   \int_{\frac{b}{a}}^{1-\frac{i}{N}} \left ( \frac{1}{ 1+\varepsilon-s+\frac{b}{a}
   \ln s} - \frac{1}{ \varepsilon-(1-\frac{b}{a})\ln s} \right ) \frac{ds}{s},\\
   T_2&=&\frac{1}{a} \int_{\frac{b}{a}}^{1-\frac{i}{N}} \frac{ds}{ s \left
   (\varepsilon-(1-\frac{b}{a})\ln s\right )}. \end{eqnarray*} En réduisant au même
   dénominateur, \[ T_1 =\frac{1}{a} \int_{\frac{b}{a}}^{1-\frac{i}{N}}
   \frac{-1+s-\ln s}{[\varepsilon-(1-\frac{b}{a})\ln s](1+\varepsilon-s+\frac{b}{a}
   \ln s)} \frac{ds}{s}.\] On remarque que \(\varepsilon \sim \frac{b}{a}
   \frac{i}{N} \to 0\)  lorsque  \(N\to +\infty\). Observons que l'intégrale qui
   intervient lorsqu'on passe formellement à la limite \(\ N\to +\infty\)
   \[\int_{\frac{b}{a}}^{1} \frac{-1+s-\ln s}{-(\ln s) (1-s+\frac{b}{a} \ln s)}
   \frac{ds}{s}\] est a priori une intégrale généralisée en  \(s=1\). Mais la
   fonction intégrée se prolonge par continuité en s=1, car \[\ln s =
   s-1-\frac{(s-1)^2}{2}+o((s-1)^2)\] au voisinage de  \(s=1\), de sorte que
   \[\frac{-1+s-\ln s}{-(\ln s) (1-s+\frac{b}{a} \ln s)s} \quad
   \mathop{\longrightarrow}_{s\to 1} \quad \frac{1}{2(1-b/a)}.\] En particulier,
   cette intégrale est convergente. On en déduit (voir l'appendice 1) que \[
   T_1=\frac{1}{a-b} \int_{\frac{b}{a}}^{1} \frac{-1+s-\ln s}{-(\ln s)
   (1-s+\frac{b}{a} \ln s)} \frac{ds}{s}+o(1).\\ \] Avec le changement de variable
   \(s=e^{-u}\), \[ T_1=\frac{1}{a-b} \int_0^{\ln \frac{a}{b}}
   \frac{-1+e^{-u}+u}{u(1-e^{-u}-\frac{b}{a}u)} du +o(1). \] Par ailleurs,
   l'intégrale  \(T_2\)  se calcule explicitement : \begin{eqnarray*} T_2&=&
   \frac{1}{a} \left [ \frac{\ln \left \{-\frac{b}{a}
   \ln(1-\frac{i}{N})-(1-\frac{b}{a})\ln s \right \}}{-(1-\frac{b}{a})} \right
   ]_{\frac{b}{a}}^{1-\frac{i}{N}} \\ &=& \frac{1}{a-b} \left \{ \ln \left
   [-\frac{b}{a} \ln \left(1-\frac{i}{N} \right )-\left (1-\frac{b}{a} \right )\ln
   \frac{b}{a} \right ] - \ln \left [-\ln \left (1-\frac{i}{N} \right ) \right
   ]\right \}\\ &=& \frac{ \ln \frac{N}{i} + \ln [(1-\frac{b}{a})\ln \frac{a}{b} ]
   }{a-b}+o(1) . \end{eqnarray*} En additionnant les deux résultats, on obtient ce
   que l'on peut appeler la formule de Lauwerier [[10]5, p. 13] \[T = \frac{1}{a-b}
   \left \{\ln \frac{N}{i} + \ln \left [\left (1-\frac{b}{a}\right )\ln \frac{a}{b}
   \right ] + \int_0^{\ln \frac{a}{b}} \frac{-1+e^{-u}+u}{u(1-e^{-u}-\frac{b}{a}u)}
   du \right \} +o(1),\] ou \[T = \frac{1}{a-b} \left \{\ln \frac{N}{i} +
   f(\mathcal{R}_0) \right \} +o(1)\] avec  \(\mathcal{R}_0=a/b>1\).

   La figure 1 montre à quel point la formule de Lauwerier donne une bonne
   approximation de la date T du pic épidémique. On a utilisé le logiciel libre
   Scilab pour le calcul numérique des intégrales. On a choisi le paramètre b de
   sorte que la période infectieuse dure en moyenne  \(1/b=4\)  jours.
   [2021Quadrature_figure1.png] Figure 1. La date T du pic épidémique du modèle
   S-I-R (en jours écoulés depuis le début de l'épidémie) en fonction de \(\ \ln N\
   \) (ligne continue) selon la formule exacte (5) et la formule approchée de
   Lauwerier (petits cercles). Valeurs des paramètres : \(\ I(0)=1\),  \(b=1/4\)
   par jour,  \(\mathcal{R}_0=a/b\in \{\mbox{1,5} ; \, 2 ;\, 3\}\). Remarque. La
   formule de Lauwerier reste inchangée si l'on part de la condition initiale
   \[S(0)=N-i-r,\quad I(0)=i,\quad R(0)=r,\] avec  \(i > 0\),  \(r\geq 0\),  \(i+r <
   N\)  et  \(a(1-\frac{i+r}{N})>b\). En effet, posons \[\widehat{N}=N-r=N(1-r/N),
   \quad \widehat{R}(t)=R(t)-r, \quad \widehat{a}=a\widehat{N}/N=a(1-r/N).\] Alors
   \[\frac{dS}{dt} = -\widehat{a} S \frac{I}{\widehat{N}},\quad \frac{dI}{dt} =
   \widehat{a} S \frac{I}{\widehat{N}} - b I,\quad \frac{d\widehat{R}}{dt} = b I, \]
   \[S(0)=\widehat{N}-i,\quad I(0)=i,\quad \widehat{R}(0)=0.\] Donc \[T =
   \frac{1}{\widehat{a}-b} \left \{\ln \frac{\widehat{N}}{i} + f(\widehat{a}/b)
   \right \} +o(1), \quad \widehat{N}\to +\infty.\] Mais puisque  \(\widehat{N}\to
   +\infty\)  est équivalent à \(N\to +\infty\), et puisque
   \(\widehat{a}=a+O(1/N)\), on retombe sur \[T = \frac{1}{a-b} \left \{\ln
   \frac{N}{i} + f(a/b) \right \} +o(1), \quad N\to +\infty.\]

  2.3   Étude de la fonction \(f(\mathcal{R}_0)\)

   La figure 2 montre comment  \(f(\mathcal{R}_0)\)  varie en fonction de
   \(\mathcal{R}_0\). On remarque que \(\ f(\mathcal{R}_0)\)  semble être une
   fonction croissante (ce n'est pas évident, même en calculant la dérivée) et
   \(f(\mathcal{R}_0)=0\)  si  \(\mathcal{R}_0\simeq \mbox{2,10}\).
   [2021Quadrature_figure2.png] Figure 2. \(f(\mathcal{R}_0)\) en fonction de
   \(\mathcal{R}_0\)  (ligne continue) et l'approximation (6) au voisinage de
   \(\mathcal{R}_0=1\)  (en pointillé).

   Avec  \(\mathcal{R}_0\to 1^+\), on remarque que  \(\ln \mathcal{R}_0 =
   (\mathcal{R}_0-1)(1+o(1))\)  et \[\ln \left [\left
   (1-\frac{1}{\mathcal{R}_0}\right )\ln \mathcal{R}_0 \right ] = \ln \left
   [(\mathcal{R}_0-1)^2 \right ] + o(1) = 2 \ln (\mathcal{R}_0-1) + o(1). \] Au
   voisinage de  \(u=0^+\), \begin{align*}
   \frac{-1+e^{-u}+u}{u(1-e^{-u}-u/\mathcal{R}_0)} &= \frac{u^2/2 +o(u^2)}{u(u-u^2/2
   +o(u^2) - u/\mathcal{R}_0)}\\ &= \frac{1+o(1)}{2(1-1/\mathcal{R}_0)-u+o(u)}.
   \end{align*} Mais \begin{align*} \int_0^{\ln \mathcal{R}_0}
   \frac{du}{2(1-1/\mathcal{R}_0)-u} &= \Bigl [ -\ln \bigl \{
   2(1-1/\mathcal{R}_0)-u\bigr \} \Bigr ]_0^{\ln \mathcal{R}_0}\\ &= -\ln
   \frac{2(1-1/\mathcal{R}_0)-\ln \mathcal{R}_0}{2(1-1/\mathcal{R}_0)}\\ &= -\ln
   \Bigl [ 1 - \frac{\ln \mathcal{R}_0}{2(1-1/\mathcal{R}_0)} \Bigr ]\\ &
   \mathop{\longrightarrow}_{\mathcal{R}_0\to 1^+} -\ln (1/2) = \ln 2 \end{align*}
   On en déduit (voir l'appendice 2) que \begin{equation}\tag{6} f(\mathcal{R}_0) =
   \ln \Bigl [ 2(\mathcal{R}_0-1)^2 \Bigr ]+o(1), \quad \mathcal{R}_0\to 1^+.
   \end{equation} Cette approximation coïncide avec celle suggérée dans [[11]2, p.
   11] en partant de l'approximation (non rigoureuse) de Kermack et McKendrick pour
   le modèle S-I-R lorsque \(\ \mathcal{R}_0\)  est proche de 1.

  2.4   La date du pic n'est pas une fonction monotone du taux de contact

   Ainsi, lorsque N est grand et \(\ \mathcal{R}_0\)  proche de 1 avec
   \(N(\mathcal{R}_0-1)^2\)  pas trop petit, \[T \simeq \frac{\ln \left [ (N/i) 2
   (a/b-1)^2 \right ]}{a-b}.\] Donc \begin{align*} \frac{\partial T}{\partial a}&
   \simeq \frac{2 - \ln \left [ (N/i) 2(a/b-1)^2 \right ]}{(a-b)^2} . \end{align*}
   On remarque que  \(\frac{\partial T}{\partial a} \simeq 0\)  si \[\frac{a}{b}
   \simeq 1+\mathrm{e}\, \sqrt{\frac{i}{2N}}.\] Avec cette valeur de a, notons-la
   \(\ a^*\ \), la valeur correspondante du maximum de T est \[T_{\max} \simeq
   \frac{2}{a^*-b} = \frac{2}{b \, \mathrm{e}} \, \sqrt{\frac{2N}{i}}.\] La date du
   pic n'est donc pas une fonction monotone décroissante du taux de contact, comme
   on pourrait le croire a priori. La figure 3 illustre ceci avec quelques exemples
   numériques. [2021Quadrature_figure3.png] figure 3. La date T du pic épidémique
   selon la formule exacte (5), en fonction du taux de contact a avec \(\
   a>b/(1-i/N)\) si  \(i=1\)  et  \(N\in \{100;\, 1000;\, 10000\}\). On a choisi
   l'unité de temps de sorte que b=1.

3.   Le système S-E-I-R

   Considérons désormais le système S-E-I-R (1)-(4). On suppose \(\ N>0\),  \(a>0\),
    \(b>0\)  et  \(c>0\). On suppose aussi \(\ a>c\). Les conditions initiales sont
   \[S(0)=N-n_E-n_I> 0,\quad E(0)=n_E\geq 0, \quad I(0)=n_I\geq 0, \quad R(0)=0,\]
   avec  \(n_E+n_I>0\). On remarque que \begin{equation}\tag{7}
   S(t)+E(t)+I(t)+R(t)=N, \quad \forall t > 0, \end{equation} \(S(t)>0\),
   \(E(t)>0\),  \(I(t)>0\)  et  \(R(t)>0\).

  3.1   La taille finale de l'épidémie

   La fonction  \(S(t)\)  est décroissante d'après l'équation (1) et positive, donc
   elle converge vers une limite  \(S_\infty\). La fonction \(\ R(t)\ \) est
   croissante d'après l'équation (4) et inférieure à N, donc elle converge vers une
   limite \(\ R_\infty\). Comme les fonctions E(t) et I(t) sont bornées par N si \(\
   t \in ]0;+\infty[\), la fonction  \(dI/dt\)  est aussi bornée d'après l'équation
   (3), de même que  \(d^2R/dt^2\ \)  d'après l'équation (4). La fonction \(\
   R(t)\)  est donc convergente quand \(t\to +\infty\ \) avec une dérivée seconde
   bornée ; donc \(\ dR/dt \to 0\ \) (voir par exemple [[12]4, II.3.21] ou
   l'appendice 3). Avec l'équation (4), on voit que \(\ I(t)\to 0\). La fonction \(\
   dE/dt\)  est bornée d'après l'équation (2), de même que  \(d^2I/dt^2\ \) d'après
   l'équation (3). Donc \(\ dI/dt \to 0\ \) comme précédemment. D'après l'équation
   (2), \(\ E(t)\to 0\). Avec l'équation (7), on obtient à la limite \(\ S_\infty+
   R_\infty=N\). D'après les équations (1) et (4), \[\frac{dR}{dt} = - \frac{cN}{aS}
   \frac{dS}{dt}.\] Donc \begin{equation}\tag{8} R(t)=- \frac{cN}{a} \ln
   \frac{S(t)}{S(0)} . \end{equation} À la limite, on en déduit que  \(S_\infty>0\)
   et que \[S_\infty=N-R_\infty=N+ \frac{cN}{a} \ln \frac{S_\infty}{S(0)} .\] On
   définit  \(x_\infty=S_\infty/N\),  \(x_0=S(0)/N\)  et \[g(x)=1-x+ \frac{c}{a} \ln
   \frac{x}{x_0}.\] On a donc  \(g(x_\infty)=0\)  et  \(0 < x_\infty \leq 1\). Mais
   \begin{align*} &g'(x)=-1+ \frac{c}{ax}>0,\quad \quad 0 < x < c/a,\\ &g'(x) < 0,
   \quad \quad\quad\quad\quad \quad \quad c/a < x < 1. \end{align*} Par ailleurs,
   \begin{align*} &g(1)=\frac{c}{a} \ln \frac{1}{x_0} > 0,\\ &g(x)\to -\infty, \quad
   \quad x\to 0^+,\\ &g(c/a)=1-\frac{c}{a}+ \frac{c}{a} \ln \frac{c/a}{x_0} >
   1-\frac{c}{a}+ \frac{c}{a} \ln \frac{c}{a} > 0. \end{align*} Cette dernière
   inégalité vient de l'hypothèse  \(c/a < 1\)  et de l'observation que la fonction
    \(h(u)=1-u+u\ln u\)  vérifie  \(h'(u)=\ln u < 0\)  si \(u\in]0;1[\)  et
   \(h(1)=0\), de sorte que  \(h(u) > 0\)  si \(u\in]0;1[\).

   Par conséquent, la fonction g croît de -infty à \(\ g(c/a) > 0\)  sur
   l'intervalle  \(]0,c/a[\), puis décroît de  \(g(c/a) > 0\)  à  \(g(1) > 0\)  sur
   l'intervalle \(]c/a,1[\). L'équation \(\ g(x)=0\)  a donc une unique solution
   dans l'intervalle  \(]0;1]\)  et cette solution se trouve dans  \(]0;c/a[\). On
   conclut que \[0 < S_\infty/N < c/a.\]

  3.2   Le pic épidémique

   Précisons notre définition du pic épidémique. On a \begin{equation}\tag{9}
   \frac{d}{dt}(E+I) = (aS/N - c) I. \end{equation} Supposons \[S(0)/N =
   1-(n_E+n_I)/N > c/a. \] Avec l'hypothèse a>c, cette inégalité est vraie dès que N
   est assez grand. On a \(\ I(t)>0\ \forall t>0\). La fonction S est strictement
   décroissante et décroît de  \(S(0) > N c/a\)  jusqu'à  \(S_\infty < N c/a\)  sur
   l'intervalle  \([0;+\infty[\). Il existe donc un unique \(\ T > 0\)  avec
   \(S(T)=N c/a\). D'après l'équation (9), la fonction E+I est strictement
   croissante sur l'intervalle [0;T] puis strictement décroissante sur l'intervalle
   \(\ [T\, ;\, +\infty[\). On appelle T le pic épidémique. Notons qu'il ne
   correspond en général ni au maximum de I, ni à celui de E.

   D'après l'équation (8), on a aussi \begin{equation}\tag{10} E(T)+I(T) =
   N-S(T)-R(T)=N-S(T)+\frac{cN}{a} \ln \frac{S(T)}{S(0)}. \end{equation} Puisque
   \(S(T)=Nc/a\), on obtient \[E(T)+I(T) = N \left (1-\frac{c}{a}+\frac{c}{a} \ln
   \frac{Nc}{a\,S(0)} \right ),\] comme Hethcote l'a déjà observé dans [[13]6, p.
   35].

  3.3   Borne inférieure

   Comme  \(S/N\leq 1\), on obtient \[\frac{dE}{dt} \leq - b E + a I\]
   \[\frac{dI}{dt} = b E - c I.\] Dans la suite, l'inégalité = 2 est un entier, si  \(F\in C^1(\mathbb{R}^d,\mathbb{R}^d)\),  \(X\in
     C^1([0,+\infty[,\mathbb{R}^d)\)  et  \(Y\in C^1([0,+\infty[,\mathbb{R}^d)\)
     vérifient \begin{eqnarray*} && \frac{\partial F_i}{\partial x_j}(x) \geq
     0\quad \forall i \neq j,\quad \forall x\in \mathbb{R}^d,\\ &&
     \frac{dX}{dt}-F(X(t)) \leq \frac{dY}{dt}-F(Y(t))\quad \forall t>0,\\ &&X(0)
     \leq Y(0), \end{eqnarray*} alors  \(X(t) \leq Y(t) \quad \forall t>0\).

   Soit M la matrice définie dans l'introduction. On choisit \(\ d=2\), \[X(t)=\left
   (\begin{array}{c} E(t) \\ I(t) \end{array} \right ), \quad Y(t)=e^{tM} \left
   (\begin{array}{c} n_E \\ n_I \end{array} \right ), \quad F(x)=Mx.\] On obtient \[
   \frac{dX}{dt}-F(X(t)) \leq 0 = \frac{dY}{dt}-F(Y(t))\quad \forall t>0,\] \(X(0) =
   Y(0)\ \) et l'hypothèse sur F est vérifiée parce que les coefficients non
   diagonaux de la matrice M sont positifs. Donc \[\left (\begin{array}{c} E(t) \\
   I(t) \end{array} \right ) \leq e^{tM} \left (\begin{array}{c} n_E \\ n_I
   \end{array} \right ), \quad \forall t\geq 0.\] L'exponentielle de matrice \(\
   e^{tM}\ \) se calcule explicitement [[15]9, proposition 6] avec les valeurs
   propres de la matrice M, qui sont \[\lambda_\pm = \frac{-b-c\pm
   \sqrt{(b-c)^2+4ab}}{2}.\] On obtient \[ e^{tM} = \left ( \begin{array}{cc}
   \frac{e^{\lambda_+ t}+e^{\lambda_- t}}{2} + \frac{c-b}{\sqrt{(b-c)^2+4ab}}
   \frac{e^{\lambda_+ t}-e^{\lambda_- t}}{2}& \frac{a \left (e^{\lambda_+
   t}-e^{\lambda_- t}\right )}{\sqrt{(b-c)^2+4ab}} \\ & \\ \frac{b \left
   (e^{\lambda_+ t}-e^{\lambda_- t}\right )}{\sqrt{(b-c)^2+4ab}} &
   \frac{e^{\lambda_+ t}+e^{\lambda_- t}}{2} + \frac{b-c}{\sqrt{(b-c)^2+4ab}}
   \frac{e^{\lambda_+ t}-e^{\lambda_- t}}{2} \end{array} \right ) \quad \forall
   t\geq 0.\] On déduit que \begin{eqnarray*} E(T)+I(T) &\leq & (1\quad 1) \ e^{TM}
   \left (\begin{array}{c} n_E \\ n_I \end{array} \right ) \\ &\leq & \left
   (\frac{e^{\lambda_+ T}+e^{\lambda_- T}}{2} + \frac{b+c}{\sqrt{(b-c)^2+4ab}}
   \frac{e^{\lambda_+ T}-e^{\lambda_- T}}{2}\right ) n_E \\ & &+ \left
   (\frac{e^{\lambda_+ T}+e^{\lambda_- T}}{2} + \frac{2a+b-c}{\sqrt{(b-c)^2+4ab}}
   \frac{e^{\lambda_+ T}-e^{\lambda_- T}}{2}\right ) n_I. \end{eqnarray*} Parce que
    \(\lambda_- < \lambda_+\ \), il existe une constante  \(k>0\), qui dépend de a,
   b, c, \(n_E\) et \(n_I\) (mais qui ne dépend pas de N), telle que \[E(T)+I(T)
   \leq k\, e^{\lambda_+ T}.\] Mais (10) montre que \[E(T)+I(T) = N \left
   (1-\frac{c}{a}+\frac{c}{a} \ln (c/a)\right ) - \frac{cN}{a} \ln (S(0)/N).\] Parce
   que  \(S(0)/N 0. Alors \[\exists x_0 > 0,\ \forall x > x_0,\
   |Z(x)-L| \leq \varepsilon^2/(4M).\] D'après la formule de Taylor-Lagrange,
   \[\forall x > 0,\ \forall h > 0,\ \exists \theta \in ]0,1[, \quad Z(x+h)=Z(x)+h
   Z'(x) +\frac{h^2}{2} Z''(x+\theta h).\] Donc \[\forall x > x_0,\ \forall h >
   0,\quad |Z'(x)| \leq \frac{|Z(x+h)-Z(x)|}{h}+\frac{Mh}{2} \leq
   \frac{\varepsilon^2}{2Mh}+\frac{Mh}{2} .\] Avec  \(h=\varepsilon/M\), on obtient
    \(|Z'(x)| \leq \varepsilon \ \forall x > x_0\).

Appendice 4

   Avec les notations de la section 3.3, posons  \(U(t)=Y(t)-X(t)\)  et \[H(t)=
   \frac{dY}{dt}-F(Y(t)) - \left [\frac{dX}{dt}-F(X(t)) \right ].\] Par hypothèse,
   on a l'inégalité vectorielle  \(H(t)\geq 0\). Par ailleurs, \[\frac{dU}{dt} =
   H(t)+F(X(t)+U(t))-F(X(t))=\phi(t,U(t)),\] avec \[\phi_i(t,U(t))=H_i(t)+\sum_j
   \left [ \int_0^1 \frac{\partial F_i}{\partial x_j}(X(t)+s\, U(t))\ ds \right ]
   U_j(t).\] Si l'on suppose  \(x_j\geq 0\ \forall j\)  et  \(x_i=0\), alors on
   obtient \(\phi_i(t,x)\geq 0\)  en raison de l'hypothèse sur le signe des dérivées
   partielles de la fonction F. Le cône \(\ \mathbb{R}_+^d\ \) est donc une région
   invariante. Comme \(\ U(0)\geq 0\), il en résulte que \(U(t)\geq 0\)  et
   \(X(t)\leq Y(t)\ \forall t\geq 0\).

    Remerciements

   On remercie A. Moussaoui pour avoir signalé [[17]7].

    Références bibliographiques

    1. N. Bacaër : Histoires de mathématiques et de populations, Éditions Cassini,
       Paris, 2009.
    2. N. Bacaër : Sur le pic épidémique dans un modèle S-I-R. Quadrature 117 (2020)
       9-12. [18]https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02518993
    3. N. Bacaër : Un modèle mathématique des débuts de l'épidémie de coronavirus en
       France. Math. Model. Nat. Phenom. 15 (2020) 29.
       [19]https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02509142
    4. W.J. Kaczor, M.T. Nowak (trad. E. Kouris) : Problèmes d'analyse II. EDP
       Sciences, Les Ulis (2008)
    5. H.A. Lauwerier : Mathematical models of epidemics. Mathematisch Centrum,
       Amsterdam (1981). [20]https://ir.cwi.nl/pub/12996
    6. H. Hethcote : The basic epidemiology models: models, expressions for R0,
       parameter estimation, and applications. In : S. Ma, Y. Xia (éd.) Mathematical
       Understanding of Infectious Disease Dynamics, World Scientific, Singapour
       (2009), p. 1-61.
    7. N. Piovella : Analytical solution of SEIR model describing the free spread of
       the COVID-19 pandemic. Chaos, Solitons and Fractals 140 (2020) 110243.
    8. J.W. Prüß, R. Schnaubelt, R. Zacher : Mathematische Modelle in der Biologie.
       Birkhäuser, Basel (2008)
    9. E. Thomas, Sur l'exponentielle de matrices. Quadrature 116, 2020.

References

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   2. http://www.ummisco.ird.fr/perso/bacaer/seir_fr.html#Cassini
   3. http://www.ummisco.ird.fr/perso/bacaer/seir_fr.html#MMNP
   4. http://www.ummisco.ird.fr/perso/bacaer/seir_fr.html#Piovella
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  11. http://www.ummisco.ird.fr/perso/bacaer/seir_fr.html#NB
  12. http://www.ummisco.ird.fr/perso/bacaer/seir_fr.html#Kaczor
  13. http://www.ummisco.ird.fr/perso/bacaer/seir_fr.html#Ma
  14. http://www.ummisco.ird.fr/perso/bacaer/seir_fr.html#PSZ
  15. http://www.ummisco.ird.fr/perso/bacaer/seir_fr.html#Th
  16. http://www.ummisco.ird.fr/perso/bacaer/seir_fr.html#Kaczor
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  19. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02509142
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