Ergebnis für URL: http://www.ummisco.ird.fr/perso/bacaer/2007MBE.html La reproductivité \(R_0\) dans les modèles d'activité sexuelle pour les épidémies de
VIH/SIDA : exemple du Yunnan en Chine
Math. Biosci. Eng. 4 (2007) 595-607
Nicolas BACAËR
Institut de recherche pour le développement
32 avenue Henri Varagnat, 93143 Bondy cedex, France
nicolas.bacaer@ird.fr
Xamxinur ABDURAHMAN
Collège de mathématiques et sciences des systèmes, Université du Xinjiang
14 Shengli Lu, Urumqi, 830046, Chine
axamxi@xju.edu.cn
YE Jianli
Centre national pour la santé maternelle et infantile, Département de la gestion
de l'information,
13 Dong Tu Cheng Lu, District de Chang Yang, Pékin, 100013, Chine
yejianli@chinawch.org.cn
Pierre AUGER
pierre.auger@ird.fr
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Résumé
L'hétérogénéité dans les comportements sexuels joue un rôle important dans la
propagation du VIH. Un modèle mathématique avec des équations différentielles
ordinaires a été proposé en 1986 pour prendre en compte la distribution de
l'activité sexuelle. On suppose un mélange proportionnel. Si M est la moyenne et
V la variance de la distribution, alors la reproductivité qui fixe le seuil
épidémique est proportionnelle à \(\,M+V/M\). On remarque ici que cette
distribution théorique est différente de celle que l'on obtient dans les enquêtes
de comportements au sujet du nombre de partenaires sexuels pendant une durée t.
Cette dernière est une loi mixte de Poisson dont la moyenne m et la variance v
sont telles que \(M=m/\tau\) et \(V=(v-m)/\tau^2\). On a donc
\(M+V/M=(m+v/m-1)/\tau\). De cette manière, on renforce le lien entre la théorie
et les données dans les modèles d'activité sexuelle pour les épidémies de
VIH/SIDA. Comme exemple, on considère les données concernant des travailleuses du
sexe et leurs clients dans le Yunnan, en Chine. On trouve une borne supérieure
pour la moyenne géometrique des probabilités de transmission dans ce contexte.
1. Introduction
En 2002, des études comportementales ont été menées sur huit cents hommes
âgés de 18 à 50 ans et huit cents travailleuses du sexe dans le Yunnan et le
Sichuan, deux provinces du sud-est de la Chine. Ces études faisaient partie d'un
projet sino-britannique de prévention contre le VIH. Parmi de nombreuses autres
questions, on a demandé aux hommes le nombre de travailleuses du sexe qu'ils
avaient fréquentées au cours des douze derniers mois [11, Tableau 148-149]. On a
demandé aussi aux travailleuses du sexe le nombre de clients qu'elles avaient eus
pendant la semaine avant l'entretien [12, Tableau 78]. Le tableau 1 montre les
résultats détaillés pour les 407 hommes du Yunnan. Les échantillons des
différentes villes ont été pondérés selon la population de ces villes [11, Table
201]. Le tableau 1 ne montre donc pas des multiples entiers de la fraction 1/407.
La première ligne du tableau 2 montre la moyenne et l'écart type, c'est-à-dire la
racine carrée de la variance. Pour les 403 travailleuses du sexe du Yunnan qui
ont participé à l'étude, seuls la moyenne, l'écart type, le minimum et le maximum
ont été publiés (seconde ligne du tableau 2).
CAPTION: Tableau 1. Distribution du nombre de travailleuses du sexe rencontrées
au cours des douze derniers mois par 407 hommes du Yunnan. D'après [11, tableau
149].
0 1 2 3 4 5 6-9 10-14 \( > 14\)
% 78,6 1,9 3,2 2,9 1,7 1,8 3,5 4,3 2,1
CAPTION: Tableau 2. Distribution du nombre de travailleuses du sexe fréquentées
au cours des douze derniers mois par 407 hommes et distribution du nombre de
clients pendant une semaine pour 403 travailleuses du sexe dans le Yunnan.
D'après [11, tableau 148] et [12, tableau 78].
moyenne écart type minimum maximum
hommes 1,0 2,2 0 non disponible
travailleuses du sexe 3,0 4,1 0 40
À Kunming, la capitale de la province du Yunnan, l'épidémie de VIH est
devenue importante parmi les usagers de drogue en 1996-1997 (figure 1a). Depuis,
il semblerait que la prévalence du VIH dans ce groupe à risque se soit stabilisée
entre 20% et 30%, un niveau probablement déterminé par le pourcentage des usagers
de drogue qui partagent les seringues. La transmission sexuelle du VIH semble
assez limitée lorsqu'on la compare à ce qui est arrivé il y a quelques années
dans d'autres régions de l'Asie du sud-est telles que la Thaïlande. La prévalence
du VIH est restée relativement faible parmi les travailleuses du sexe et leurs
clients (figure 1b, c). Noter que le petit accroissement après 1996 est
probablement dû au fait que certaines travailleuses du sexe et certains clients
sont aussi des usagers de drogue. Mais il n'y a pas d'indication d'une croissance
exponentielle de la transmission sexuelle. La situation dans d'autres parties du
Yunnan a été résumée récemment [18].
[2007MBEFig1a.png]
[2007MBEFig1b.png] [2007MBEFig1c.png]
Figure 1. En haut: prévalence du VIH parmi les utilisateurs de drogue à Kunming.
Données de [19, 20, 21, 22]. En bas: prévalence du VIH parmi les travailleuses du
sexe (à gauche) et parmi les clients (à droite). Données de [13]. Noter la
différence d'échelles et voir [5] pour plus de références et de données.
L'absence de croissance exponentielle de la prévalence du VIH parmi les
travailleuses du sexe suggère que la reproductivité pour la transmission sexuelle
du VIH entre les travailleuses du sexe et leurs clients reste inférieure à 1.
C'est un peu surprenant. Est-il possible de comprendre cela avec les données sur
les comportements sexuels?
Dans cet article, on utilise un modèle mathématique pour les épidémies de VIH
qui prend en compte la distribution de l'activité sexuelle. Les premiers modèles
de ce type se focalisaient sur les hommes homosexuels et divisaient cette
population suivant le nombre k de partenaires sexuels par an ([1, 2, 15] et [4,
chapitre 11]). Le compartiment k était appelé le « groupe d'activité sexuelle k
», k étant un nombre entier >=0. Avec un mélange proportionnel, le seuil
épidémique ne dépend pas seulement de la moyenne (notée M) mais aussi de la
variance V de la distribution. Plus précisément, la reproductivité est
proportionnelle à \(\,M+V/M\) et l'épidémie ne se produit que si \(R_0 > 1\).
Pour une population homogène, la variance V est nulle et la reproductivité est
simplement proportionnelle à l'activité sexuelle moyenne M. Ce modèle peut être
modifié pour prendre en compte des distributions continues et non discrètes pour
le taux d'acquisition de nouveaux partenaires sexuels [1, 2]. La reproductivité
est alors toujours proportionnelle à \(M+V/M\,\) [6, p. 81].
Le modèle a aussi été étendu aux populations hétérosexuelles ([15], [4, §
11.3.9]): si M et V sont la moyenne et la variance de l'activité sexuelle des
hommes, si \(\,\widehat{M et \(\widehat{V sont la moyenne et la variance pour
celle des femmes, alors la reproductivité est proportionnelle à \[\sqrt{(M+V/M)
(\widehat{M}+\widehat{V}/\widehat{M})}\, .\] La variante avec des distributions
continues et non discrètes pour le taux d'acquisition de nouveaux partenaires
sexuels donne le même résultat pour la reproductivité [6, p. 83] (on peut
remarquer dans cette référence que la formule pour la reproductivité est obtenue
en considérant directement l'opérateur de prochaine génération, c'est-à-dire sans
écrire explicitement les équations du modèle).
A priori, il semblerait que la moyenne et la variance du tableau 2 puissent
être utilisées directement dans la formule pour la reproductivité. Dans le
présent article, on explique que ce n'est pas le cas. Supposons par exemple que
le taux d'acquisition de nouveaux partenaires sexuels soit donné par une
distribution continue. Les personnes dans le groupe d'activité sexuelle x ont un
nouveau partenaire sexuel durant une durée infinitésimale dt avec une probabilité
x×dt. x>=0 est un nombre réel. Donc si l'on demande aux personnes dans ce groupe
combien de nouveaux partenaires elles ont eus pendant une durée t avant
l'entretien, on s'attend à ce que la réponse suive une distribution de Poisson de
moyenne x×t. Ainsi, la distribution dans la population du nombre de partenaires
sexuels sur une période donnée est une « loi mixte de Poisson » [8, chapitre 2].
Des distributions de ce type sont utilisées par les compagnies d'assurance pour
modéliser le nombre de demandes d'une certaine catégorie, par exemple celles
enregistrées après un accident de la circulation ou après une maladie, au cours
d'une période donnée [8, chapitre 9]). M est la moyenne, V est la variance de la
distribution de l'activité sexuelle, qui est une distribution de probabilité sur
la demi-droite x>=0. \(m(\tau)\) est la moyenne, \(v(\tau)\,\) est la variance de
la distribution du nombre de partenaires sexuels pendant une durée t d'après une
enquête comportementale. Cette distribution de probabilité est sur l'ensemble des
nombre entiers >=0. On peut montrer que \[M=m(\tau)/\tau,\quad
V=(v(\tau)-m(\tau))/\tau^2.\] On a donc \begin{equation}\tag{1}
M+\frac{V}{M}=\frac{1}{\tau} \Bigl (m(\tau)+\frac{v(\tau)}{m(\tau)}-1\Bigr )\, .
\end{equation} En particulier, \(\,V\leq v(\tau)/\tau^2\). La variance dans
l'enquête est toujours supérieure à la variance de la distribution de l'activité
sexuelle.
Pour une population homogène, par exemple, une population ne comprenant d'un
seul groupe d'activité sexuelle x, la distribution rapportée serait une
distribution de Poisson. Dans ce cas, \(\,v(\tau)=m(\tau)\). Alors le côté droit
de (1) est égal à \(\,m(\tau)/\tau\) et la reproductivité est simplement
proportionnelle à la moyenne rapportée du nombre de partenaires, comme on
pourrait s'y attendre.
Dans le cas \(\tau\to +\infty\), on a \(1/\tau \to 0\) et \[\frac{1}{\tau}
\Bigl (m(\tau)+\frac{v(\tau)}{m(\tau)}-1\Bigr ) \simeq \frac{1}{\tau} \Bigl
(m(\tau)+\frac{v(\tau)}{m(\tau)}\Bigr )\, .\] Donc le -1 dans (1) n'est important
que quand t est petit. Mais dans une enquête telle que celle faite dans le
Yunnan, t doit être petit parce que la personne que l'on interroge doit pouvoir
se souvenir et compter tous ses partenaires sexuels pendant une durée t. Cette
question devient plus difficile à mesure que t croît. Les concepteurs de
l'enquête du Yunnan ont estimé que t=1 an était une durée raisonnable pour les
clients, de même que t=1 semaine pour les travailleuses du sexe. C'est la méthode
pratique pour résoudre une difficulté: estimer directement pour un client ou une
travailleuse du sexe son groupe d'activité sexuelle x et construire la
distribution d'activité sexuelle dans la population.
Enfin, on peut remarquer qu'une expression semblable au côté droit de
l'équation (1) se trouve dans la théorie des graphes aléatoires lorsqu'on étudie
la plus grande composante connexe ([16] et [6, p. 170]).
L'article est organisé de la manière suivante. Dans la section 2, on présente
un modèle pour des hétérosexuels avec des équations différentielles ordinaires.
L'activité sexuelle est une variable continue. Le modèle tient compte du
renouvellement des hommes et des travailleuses du sexe car la durée moyenne de «
travail » dans le Yunnan est 2,5 années [12, tableau 63]). Comme les données pour
le Yunnan contiennent deux unités de temps, l'année pour les hommes et la semaine
pour les travailleuses du sexe, un modèle avec une structure continue pour
l'activité sexuelle est bien plus adapté qu'un modèle avec une structure
discrète. On fait aussi attention à l'équilibre nécessaire entre le nombre de
relations sexuelles comptées du point de vue des hommes avec celui du point de
vue des travailleuses du sexe. On trouve la reproductivité pour le modèle par une
méthode d'agrégation semblable à celle de [1, 2, 15] et de [4, chapitre 11]. Dans
la section 3, on démontre la formule (1) et on l'utilise avec les données du
tableau 2. De cette manière, on peut obtenir une borne supérieure pour la moyenne
géometrique des probabilités de transmission dans le contexte de Kunming. Dans la
section 4, on insiste sur la dépendance de la moyenne rapportée \(\,m(\tau)\) et
de la variance rapportée \(v(\tau)\) par rapport à la durée t sur laquelle les
partenaires sexuels sont comptés. Notre analyse fait douter de la loi de
puissance trouvée dans [3], qui relie \(\,m(\tau)\) et \(v(\tau)\). Cette loi est
indépendante de t. La conclusion résume les objectifs de l'article.
2. Le modèle
Les compartiments du modèle utilisé dans cet article sont les suivants, la
variable x étant réelle et positive:
* \(S_0(t)\): nombre d'hommes sains au temps t qui n'ont jamais de relation
avec des travailleuses du sexe;
* \(S(t,x)\): densité de clients sains au temps t qui appartiennent au « groupe
d'activité sexuelle x ». La probabilité d'avoir un nouveau contact avec une
travailleuse du sexe est x×dt pendant une durée infinitésimale dt.
* \(I(t,x)\) : densité de clients infectés dans le groupe d'activité sexuelle x
;
* \(\widehat{S}(t,x)\) : densité de travailleuses du sexe saines dans le groupe
d'activité sexuelle x. La probabilité d'un nouveau contact avec un client est
à x×dt pendant une durée infinitésimale dt.
* \(\widehat{I}(t,x)\) : densité de travailleuses du sexe infectées dans le
groupe d'activité sexuelle x.
On utilise le terme « densité » parce que par exemple \(\int_{x_1}^{x_2} S(t,x)\,
dx\) est le nombre de clients sains avec une activité sexuelle comprise entre
\(x_1\) et \(x_2\). On définit \[N(t,x)=S(t,x)+I(t,x)\, ,\quad
\widehat{N}(t,x)=\widehat{S}(t,x)+\widehat{I}(t,x)\] la densité totale de clients
et la densité totale de travailleuses du sexe. Les paramètres du modèle sont:
* \(A\), \(\widehat{A}(t)\) : nombre de nouveaux hommes et de nouvelles
travailleuses du sexe entrant dans la population adulte par unité de temps;
noter que l'arrivée de nouvelles travailleuses du sexe est supposée dépendre
du temps;
* \(\varepsilon\) : fraction d'hommes qui n'ont jamais de contact avec des
travailleuses du sexe (\(0 < \varepsilon < 1\))
* \(F(x)\), \(\widehat{F}(x)\) : densité de probabilité selon laquelle les
hommes et les travailleuses du sexe entrent dans le groupe d'activité
sexuelle x ; on suppose que \(\int_{0^+}^\infty F(x)\, dx=1-\varepsilon\) et
que \(\int_0^\infty \widehat{F}(x)\, dx=1\). La distribution d'activité
sexuelle des hommes adultes est donc composée d'une masse de Dirac en x=0 de
masse e, tandis que la fraction restante 1-e est distribuée sur la
demi-droite x>0. Toutes les travailleuses du sexe sont actives (x>0) par
définition.
* \(B\), \(\widehat{B : probabilité de transmission du VIH par relation des
femmes aux hommes et des hommes aux femmes; ce sont des moyennes qui ignorent
l'hétérogénéité de la charge virale et la présence ou l'absence d'autres
infections sexuellement transmissibles (ces deux aspects sont écartés dans le
modèle parce que les données nécessaires ne sont pas disponibles); les
personnes avec différents niveaux d'activité sexuelle pourraient aussi avoir
différentes probabilités d'utiliser des préservatifs (\(B\) et
\(\widehat{B}\,\) seraient alors aussi des fonctions de x) mais il y a peu
d'information à ce sujet dans le rapport concernant le Yunnan [11, tableau
184];
* \(C\) : taux auquel les hommes adultes quittent la population en question à
cause du vieillissement;
* \(\widehat{C : taux auquel les travailleuses du sexe arrêtent leur travail;
* \(D=\widehat{D : taux auquel les personnes infectées développement le SIDA;
on suppose que les personnes avec le SIDA sortent de la population.
Introduisons quelques notations. \(G(x)\,\) est la fonction de répartition de
l'activité sexuelle chez les hommes: \[G(x)= \left \{\begin{array}{lll} 0 & &
\forall \, x < 0,\\ \varepsilon+\int_0^x F(y)\, dy & & \forall \, x\geq 0.
\end{array}\right.\] Soit M et V la moyenne et la variance. On a alors
\begin{align} M&=\int_0^\infty x\, dG(x)=\int_0^\infty x\, F(x)\, dx,\tag{2}\\
V&=\int_0^\infty x^2\, dG(x) - M^2=\int_0^\infty x^2\, F(x)\, dx - M^2\, .\tag{3}
\end{align} Noter que le paramètre \(\varepsilon\) n'apparaît pas explicitement
dans ces formules mais qu'il est implicite puisque \(\int_0^\infty F(x)\,
dx=1-\varepsilon\). On définit de la même manière la moyenne \(\,\widehat{M et la
variance \(\widehat{V}\,\) pour l'activité sexuelle des travailleuses du sexe
(sans avoir à discuter de x=0). Les équations du modèle sont
\begin{equation}\tag{4} \frac{dS_0}{dt}(t) = A\, \varepsilon - C\, S_0(t)
\end{equation} pour les hommes qui n'ont pas de contacts avec les travailleuses
du sexe, \begin{align} \frac{\partial S}{\partial t}(t,x) &= A\, F(x) - C\,
S(t,x)- B\, x\, S(t,x)\, \frac{\int_0^\infty y\, \widehat{I}(t,y)\,
dy}{\int_0^\infty y\, \widehat{N}(t,y)\, dy} \, ,\tag{5}\\ \frac{\partial
I}{\partial t}(t,x) &= B\, x\, S(t,x)\, \frac{\int_0^\infty y\,
\widehat{I}(t,y)\, dy}{\int_0^\infty y\, \widehat{N}(t,y)\, dy} - (C+D)\, I(t,x)
\tag{6} \end{align} pour les autres hommes, et \begin{align} \frac{\partial
\widehat{S}}{\partial t}(t,x) &= \widehat{A}(t)\, \widehat{F}(x) - \widehat{C}\,
\widehat{S}(t,x)- \widehat{B}\, x\, \widehat{S}(t,x)\, \frac{\int_0^\infty y\,
I(t,y)\, dy}{\int_0^\infty y\, N(t,y)\, dy}\, ,\\ \frac{\partial
\widehat{I}}{\partial t}(t,x) &= \widehat{B}\, x\, \widehat{S}(t,x)\,
\frac{\int_0^\infty y\, I(t,y)\, dy}{\int_0^\infty y\, N(t,y)\, dy} -
(\widehat{C}+\widehat{D})\, \widehat{I}(t,x)\, , \tag{7} \end{align} pour les
travailleuses du sexe. On suppose qu'initialement \begin{equation}\tag{8}
S_0(0)=A\, \varepsilon/C\, ,\quad N(0,x)=A\, F(x)/C\, ,\quad \widehat{N}(0,x)=A\,
M\, \widehat{F}(x)/(C\, \widehat{M})\, , \end{equation} \[0\leq S(0,x)\leq
N(0,x),\quad 0\leq \widehat{S}(0,x)\leq \widehat{N}(0,x)\quad \forall x > 0.\]
Avec (4), on peut voir que \(S_0(t)=A\, \varepsilon/C\quad \forall \,t\). Comme
le nombre de contacts sexuels comptés selon les clients devraient être égal au
nombre de contacts sexuels comptés par les travailleuses du sexe, on doit avoir
\begin{equation}\tag{9} \int_0^\infty x\, N(t,x)\, dx = \int_0^\infty x\,
\widehat{N}(t,x)\, dx, \quad \forall \, t.\end{equation} Pour vérifier cette
contrainte, on suppose quelque peu artificiellement que le recrutement des
travailleuses du sexe \(\widehat{A}(t)\) est donné par la formule \begin{align}
\widehat{A}(t)\, \widehat{M}=A\, M &+ (\widehat{C}-C) \int_0^\infty x\, S(t,x)\,
dx + (\widehat{C}-C-D) \int_0^\infty x\, I(t,x)\, dx\nonumber\\ &+ \widehat{D}
\int_0^\infty x\, \widehat{I}(t,x)\, dx\, ,\tag{10} \end{align} ce qui signifie
que les personnes qui recrutent peuvent équilibrer l'offre et la demande à chaque
instant. En effet, il résulte des équations (5)-(7) et de (10) que \begin{align}
\frac{d}{dt} \int_0^\infty x\, \Bigl ( N(t,x)- &\widehat{N}(t,x)\Bigr )\, dx
=\int_0^\infty x\, \Bigl (\frac{\partial N}{\partial t}(t,x)-\frac{\partial
\widehat{N}}{\partial t}(t,x)\Bigr )\, dx\nonumber \\ &=A\, M - C \int_0^\infty
x\, N(t,x)\, dx - D \int_0^\infty x\, I(t,x)\, dx \nonumber\\ &\quad - \Bigl [
\widehat{A}(t)\, \widehat{M} - \widehat{C} \int_0^\infty x\, \widehat{N}(t,x)\,
dx - \widehat{D} \int_0^\infty x\, \widehat{I}(t,x)\, dx\Bigr ]\nonumber\\
&=-\widehat{C} \int_0^\infty x \Bigl (N(t,x)-\widehat{N}(t,x)\Bigr )\, dx\, .
\tag{11} \end{align} Vu le choix des conditions initiales (8), on a
\begin{equation}\tag{12} \int_0^\infty x \Bigl (N(0,x)-\widehat{N}(0,x)\Bigr )\,
dx=0\, . \end{equation} Il résulte de (11) et (12) que l'équilibre (9) est
vérifié.
Si l'on suppose aussi que \(\widehat{C} > C+D\), alors le système (5)-(7)
avec \(\widehat{A}(t)\) défini par (10) est bien posé, et \(\widehat{A}(t)\geq
0\). Ceci veut dire que la rotation des travailleuses du sexe doit être assez
rapide pour s'adapter aux variations de l'offre et de la demande causées par la
mortalité du SIDA. On verra dans la pochaine section que les données pour le
Yunnan vérifient la condition \(\,\widehat{C} > C+D\). Insistons sur les
principales hypothèses du présent modèle:
* La durée des contacts n'est pas prise en compte. C'est l'hypothèse habituelle
pour la modélisation des relations entre clients et travailleuses du sexe.
Pour être plus précis, on considère les données sur la fréquence moyenne des
contacts avec une travailleuse du sexe au cours des 30 derniers jours pour
les hommes qui ont eu un contact au cours de l'année. Ce sont 21,4% de tous
les hommes d'après le tableau 1 ci-dessus. La fréquence moyenne est 2,4 fois
par mois [11, tableau 174]. Le nombre moyen de travailleuses du sexe
rencontrées par les hommes est 1,0 par an (tableau 2 ci-dessus). On peut
estimer le nombre moyen µ de travailleuses du sexe rencontrées au cours d'une
année par les hommes actifs. On a \[\mbox{1,0}=0\times \mbox{78,6}\% + \mu
\times \mbox{21,4}\%.\] On obtient \(\,\mu=\mbox{1,0}/\mbox{0,214}\simeq
\mbox{4,67. Le nombre moyen de contacts pour ces clients sur un an s'estime
en multipliant le nombre mensuel par le nombre de mois dans une année:
\(\,\mbox{2,4}\times 12=\mbox{28,8. Donc on obtient une moyenne de
\(\mbox{28,8}/\mbox{4,67}\simeq \mbox{6,2 contacts avec la même travailleuse
du sexe et une durée moyenne du « contact » égale à
\(\mbox{6,2}/\mbox{2,4}\simeq \mbox{2,6}\,\) mois (avec une moyenne de 2,4 «
liaisons » par an). Cette échelle de temps est beaucoup plus courte que par
exemple la durée moyenne de travail des travailleuses du sexe (\(1/C'=\)2,5
années d'après [12, tableau 63]). L'hypothèse initiale est donc quelque peu
justifiée.
* On suppose que le mélange entre les groupes d'activité sexuelle est
proportionnel car on n'a pas de meilleure information dans l'enquête.
* À mesure que l'épidémie se développe, on suppose que le recrutement des
travailleuses du sexe s'adapte pour équilibrer l'offre et la demande. Il y a
plusieurs autres possibilités. Par exemple, les hommes pourraient fréquenter
les travailleuses du sexe moins souvent. Ces hypothèses n'entrent de toute
façon pas dans le calcul de la reproductivité, qui est le point principal de
cet article. Celui-ci ne dépend que du début de l'épidémie.
L'état d'équilibre sans maladie du système (5)-(7) et (10) est donné par
\begin{equation}\tag{13} S_*(x)=A\, F(x)/C, \quad \widehat{S}_*(x)=A\, M\,
\widehat{F}(x)/(C\, \widehat{M}), \end{equation} \(I(x)=0\), \(\widehat{I}(x)=0\
\forall \, x > 0\). Linéarisons les équations (6) et (7) près de cet équilibre
sans maladie et utilisons des lettres minuscules pour éviter toute confusion. On
obtient \begin{align} \frac{\partial i}{\partial t}(t,x) &= B\, x\, S_*(x)\,
\frac{\int_0^\infty y\, \widehat{i}(t,y)\, dy}{\int_0^\infty y\,
\widehat{S}_*(y)\, dy} - (C+D)\, i(t,x) \tag{14}\\ \frac{\partial
\widehat{i}}{\partial t}(t,x) &= \widehat{B}\, x\, \widehat{S}_*(x)\,
\frac{\int_0^\infty y\, i(t,y)\, dy}{\int_0^\infty y\, S_*(y)\, dy} -
(\widehat{C}+\widehat{D})\, \widehat{i}(t,x)\, . \tag{15} \end{align} Suivant la
même méthode que celle de [4, § 11.3.9] pour un modèle avec une distribution
discrète de l'activité sexuelle, on introduit les variables agrégées \[
J(t)=\int_0^\infty x\, i(t,x)\, dx,\quad \widehat{J}(t)=\int_0^\infty x\,
\widehat{i}(t,x)\, dx\, . \] Il résulte de (14)-(15) que \begin{align*}
&\frac{dJ}{dt}(t) = B \frac{\int_0^\infty x^2\, S_*(x)\, dx}{\int_0^\infty x\,
\widehat{S}_*(x)\, dx}\, \widehat{J}(t) - (C+D)\, J(t)\\
&\frac{d\widehat{J}}{dt}(t) = \widehat{B} \frac{\int_0^\infty x^2\,
\widehat{S}_*(x)\, dx}{\int_0^\infty x\, S_*(x)\, dx}\, J(t) -
(\widehat{C}+\widehat{D})\, \widehat{J}(t) \, . \end{align*} Avec (2)-(3) et
(13), ce système peut s'écrire \begin{align} &\frac{dJ}{dt}(t) = B\,
\frac{V+M^2}{M}\, \widehat{J}(t) - (C+D)\, J(t)\tag{16}\\
&\frac{d\widehat{J}}{dt}(t) = \widehat{B}\,
\frac{\widehat{V}+\widehat{M}^2}{\widehat{M}}\, J(t) -
(\widehat{C}+\widehat{D})\, \widehat{J}(t)\, .\tag{17} \end{align} On peut alors
facilement montrer que l'équilibre nul de ce dernier système est linéairement
stable si et seulement si \begin{equation}\tag{18} R_0=\sqrt{\frac{B\,
\widehat{B} (M+V/M) (\widehat{M}+\widehat{V}/\widehat{M}) }{(C+D)\,
(\widehat{C}+\widehat{D})}} < 1\, . \end{equation} Commentons cette formule. On
aurait pu arriver au même résultat en n'incluant pas dans le modèle les hommes
qui n'ont jamais de contact avec les travailleuses du sexe, c'est-à-dire en
restreignant notre attention aux clients des travailleuses du sexe. En effet, la
distribution de l'activité sexuelle pour ces clients est
\(\,\widetilde{F}(x)=F(x)/(1-\varepsilon)\) et l'activité sexuelle moyenne est
\(\widetilde{M}=M/(1-\varepsilon)\). Noter que \(\widetilde{M} > M\). Mais si
\(\,\widetilde{V est la variance correspondante, alors
\[M+\frac{V}{M}=\frac{\int_0^\infty x^2 F(x)\, dx}{\int_0^\infty x\, F(x)\, dx} =
\frac{\int_0^\infty x^2 \widetilde{F}(x)\, dx}{\int_0^\infty x\,
\widetilde{F}(x)\, dx}=\widetilde{M}+\frac{\widetilde{V}}{\widetilde{M}}\, .\]
Donc on obtient exactement le même \(R_0\).
3. Lien avec les données
Les personnes dans le groupe d'activité sexuelle x ont un nombre de
partenaires sur une période de durée t qui est distribué selon une loi de Poisson
avec une moyenne x×t [7, § XVII.2]. Donc leur probabilité d'avoir j partenaires
sur une période de durée t est \[e^{-x\tau}\, (x\tau)^j/j!\] Par conséquent, la
fraction des hommes qui déclarent j partenaires sur une période de durée t dans
une enquête est \begin{equation}\tag{19} f_j(\tau)=\int_0^\infty e^{-x \tau}\,
\frac{(x \tau)^j}{j!}\, dG(x) =\left \{\begin{array}{lll} \varepsilon +
\int_{0^+}^\infty e^{-x \tau}\, F(x)\, dx & & j=0, \\ \int_0^\infty e^{-x \tau}\,
\frac{(x \tau)^j}{j!}\, F(x)\, dx & & j\geq 1. \end{array}\right. \end{equation}
Autrement dit, \((f_j(\tau))_{j\geq 0}\,\) est une loi mixte de Poisson [8,
chapitre 2]. La moyenne rapportée \(\,m(\tau)\) et la variance \(v(\tau)\) sont
données par \begin{equation}\tag{20} m(\tau)=\sum_{j\geq 1} j\, f_j(\tau)\,
,\quad v(\tau)=\sum_{j\geq 1} j^2\, f_j(\tau) - m(\tau)^2\, . \end{equation} Il
résulte de (2), (19) et (20) que la moyenne rapportée \(m(\tau)=\tau M\) (voir
aussi [8, proposition 2.1(i)]): \begin{equation}\tag{21} m(\tau) = \int_0^\infty
\! e^{-x \tau} \sum_{j\geq 1} \frac{(x \tau)^j}{(j-1)!}\, dG(x) = \tau
\int_0^\infty \! x\, dG(x) = \tau M\, . \end{equation} Par ailleurs, il résulte
de (19) que \begin{equation}\tag{22} \sum_{j\geq 1} j (j-1) f_j(\tau) =
\int_0^\infty e^{-x\tau} \sum_{j\geq 2} \frac{(x \tau)^j}{(j-2)!}\, dG(x)=\tau^2
\int_0^\infty x^2\, dG(x) \, . \end{equation} Combinons l'expression (3) de la
variance V avec (20)-(21)-(22). On a \begin{align} V &=\frac{1}{\tau^2}
\sum_{j\geq 1} j(j-1) f_j(\tau) - \Bigl (\frac{m(\tau)}{\tau}\Bigr )^2\nonumber\\
&= \frac{1}{\tau^2} \sum_{j\geq 1} j^2\, f_j(\tau) - \frac{1}{\tau^2} \sum_{j\geq
1} j\, f_j(\tau) - \frac{m(\tau)^2}{\tau^2}= \frac{v(\tau)-m(\tau)}{\tau^2} \,
\tag{23} \end{align} (voir aussi [8, proposition 2.1(ii)]). Parce que
\(\,m(\tau)\geq 0\) et \(V\geq 0\,\), toute loi mixte de Poisson a deux
propriétés importantes:
* \(v(\tau)\geq m(\tau)\) (l'inégalité est stricte si \(V > 0\))
* \(v(\tau)\geq \tau^2\, V\) (l'inégalité est stricte si \(m(\tau) > 0\,\),
c'est-à-dire si \(M > 0\)).
Enfin, (21) et (23) donnent \begin{equation}\tag{24}
M+\frac{V}{M}=\frac{m(\tau)}{\tau}+\frac{(v(\tau)-m(\tau))/\tau^2}{m(\tau)/\tau}
=\frac{1}{\tau} \Bigl (m(\tau)+\frac{v(\tau)}{m(\tau)}-1\Bigr )\, .
\end{equation} De même, on obtient pour les travailleuses du sexe sur une période
\(\tau'\) la formule \begin{equation}\tag{25}
\widehat{M}+\frac{\widehat{V}}{\widehat{M}}=\frac{1}{\widehat{\tau}} \Bigl
(\widehat{m}(\widehat{\tau})+\frac{\widehat{v}(\widehat{\tau})}{\widehat{m}(\wide
hat{\tau})}-1\Bigr )\, . \end{equation} Remarques:
* Avec les expressions (2)-(3) pour M et V, on voit que la dimension physique
(ou unité) de x est l'inverse d'un temps (\(T^{-1). L'unité de M est
\(\,T^{-1. L'unité de V est \(\,T^{-2}\,\). L'unité de t est \(\,T\). Mais m
et v sont sans dimension (ce sont des nombres rapportés). On peut vérifier
que les deux côtés de la formule (24) ont la même dimension.
* Dans le cas où \(\widehat{F}(x)\) est une distribution Gamma comme dans [1,
2], la distribution discrète associée est une loi binomiale négative
\[\widehat{f}_j(\widehat{\tau})=\int_0^\infty e^{-x \widehat{\tau}}\,
\frac{(x \widehat{\tau})^j}{j!}\, \widehat{F}(x)\, dx\, ,\] [8, p. 17]. Ce
point, déjà noté dans [10], ne semble pas avoir été remarqué dans la
littérature sur les modèles d'activité sexuelle pour le VIH/SIDA.
On souhaiterait maintenant appliquer les formules (18), (24) et (25) aux données
du tableau 2 pour obtenir une estimation de la reproductivité. Le problème est
que certains paramètres ne sont pas bien connus. D'un côté, on connaît le taux
\(\widehat{C auquel les travailleuses du sexe arrêtent leur travail: puisque la
durée moyenne de ce travail est de 2,5 années [12, tableau 63], on peut prendre
\(\widehat{C}=1/\mbox{2,5}=\mbox{0,4}\,\) par an. Le pourcentage d'hommes qui ont
eu un contact avec une travailleuse du sexe au cours de l'année est relativement
constant en fonction de l'âge (tableau 3). Donc pour le paramètre C, on garde le
taux moyen de vieillissement entre 18 et 50 ans, c'est-à-dire
\(\,C=1/(50-18)=1/32\,\) par an. Pour le taux de progression du VIH au SIDA, on
prend pour simplifier une constante \(\,D=\widehat{D}=1/10\,\) par an, ce qui
donne une incubation moyenne de 10 ans. Noter que \(\widehat{C} > C+D\), comme
requis dans la section précédente.
CAPTION: Tableau 3. Pourcentage des hommes ayant eu un contact avec une
travailleuse du sexe au cours des 12 derniers mois [11, tableau 173].
âge 18-30 30-34 35-39 40-44 45-50
avec contact 25,6% 25,2% 20,2% 19,1% 8,8%
Des problèmes proviennent cependant de l'incertitude concernant les
probabilités de transmission par relation B et \(\,\widehat{B. On a estimé dans
la section 2 qu'une relation dans le présent contexte signifie en moyenne 6
contacts sexuels. D'après une étude sur les travailleuses du sexe et leurs
clients en Thaïlande [14], la probabilité de transmission par contact sexuel, de
la femme à l'homme, peut atteindre 3%. C'est à cause de la prévalence des autres
infections sexuellement transmissibles. D'autres études ont trouvé des
probabilités de transmission par contact bien moindres, par exemple 0,11% pour
des couples sérodiscordants en Ouganda [9]. Il est difficile de dire quelle
estimation entre ces deux valeurs extrêmes conviendrait pour Kunming. En plus,
l'utilisation de préservatifs est incluse en moyenne dans le paramètre B.
Étant données toutes ces difficultés, on retourne la question de la manière
suivante: sachant que l'on ne voit pas encore de croissance exponentielle de la
transmission sexuelle du VIH, que peut-on en déduire pour les paramètres inconnus
du modèle? Avec \(\,R_0 < 1\) et avec (18), (24) et (25), on obtient une borne
supérieure pour la moyenne géometrique de ces probabilités de transmission :
\begin{align*} \sqrt{B\, \widehat{B}}& < \sqrt{\frac{\tau\, \widehat{\tau}\,
(C+D)\, (\widehat{C}+\widehat{D})}{(m+\frac{v}{m}-1)
(\widehat{m}+\frac{\widehat{v}}{\widehat{m}}-1)}}\\ &=\sqrt{\frac{1 \times
(7/365) \times (\mbox{0,4}+\mbox{0,1}) \times
(1/32+\mbox{0,1})}{(\mbox{1,0}+\frac{\mbox{2,2}^2}{\mbox{1,0}}-1)
(\mbox{3,0}+\frac{\mbox{4,1}^2}{\mbox{3,0}}-1)}} \simeq \mbox{0,58}\%\, .
\end{align*} Avec l'hypothèse simplificatrice supplémentaire \(B=\widehat{B et en
considérant (voir la section 2) qu'une relation représente en moyenne 6 contacts
sexuels, on peut obtenir une borne supérieure pour la probabilité de transmission
par contact sexuel : \(b < \mbox{0,1}\%\). En effet,
\(\,1-(1-\mbox{0,1}\%)^6\simeq \mbox{0,6}\%\). Donc notre résultat est plus
proche de l'estimation inférieure pour la probabilité de transmission par contact
sexuel, mais ceci est peut-être dû au niveau élevé d'utilisation des
préservatifs. Dans l'enquête comportementale de 2002 au Yunnan, 73,5% des clients
ont déclaré avoir utilisé un préservatif lors de leur dernier rapport sexuel avec
une travailleuse du sexe [11, tableau 177].
Si l'on observait une croissance exponentielle de la transmission sexuelle,
on pourrait estimer la moyenne géométrique \(\sqrt{B\, \widehat{B} parce que le
taux de croissance \(\lambda\) du modèle est la plus grande valeur propre de la
matrice du côté droit du système (16)-(17)
\[\lambda=\frac{-(C+\widehat{C}+D+\widehat{D})+\sqrt{(C-\widehat{C})^2+4B\widehat
{B} (M+V/M)(\widehat{M}+\widehat{V}/\widehat{M})}}{2}\, .\] Le temps de
doublement est \(\,\log 2/\lambda\). Le point principal ici est que M et V ne
peuvent être lus directement sur les données; on doit utiliser \(m(\tau)\) et
\(v(\tau)\) avec le -1 additionnel dans les formules (24)-(25).
4. Lien entre la moyenne et la variance
Dans [3], on peut lire:
« a wide range of surveys of different populations employing different
sampling methods and various time intervals for recall, reveal a remarkably
consistent trend in the relationship between the mean and variance in the rate
of acquisition of new partners. The summary statistics are related by a power
law \(\,v=a\, m^b\,\), where a and b are constants. »
Les constantes obtenues étaient \(a=\mbox{0,555 et \(b=\mbox{3,231. On remarque
que dans le cadre de notre modèle, cette loi de puissance ne peut être vraie pour
« various time intervals for recall [...] ranging from the past month to lifetime
». En effet, l'intervalle de temps est t selon nos notations. Les équations (21)
et (23) impliquent que \(\,m(\tau)=\tau\, M\) et \(v(\tau)=\tau^2\, V+\tau\, M\).
\(v(\tau)\) n'est pas une fonction homogène de t (il n'y a pas de a tel que
\(v(s\tau)=s^\alpha\, v(\tau)\ \forall\, s>0\)). La loi de Poisson mixte du
présent modèle semble donc incompatible avec la loi de puissance de [3].
Autrement dit, même si le point representant la moyenne et la variance rapportées
sur une période fixée se trouve proche de la courbe pour la loi de puissance
(comme c'est le cas pour les travailleuses du sexe dans le Yunnan, voir la figure
2), le point représentant la moyenne et la variance pour la même population mais
pour une durée différente peut en être très éloigné. C'est ce qu'illustre la
figure 2. Voir [3, figure 2a] pour le nuage de points original, qui devait
justifier la loi de puissance. Pour faciliter la comparaison, l'échelle de la
figure 2 est la même que celle de [3, figure 2a]. Avec le modèle utilisé dans le
présent article, on remarque que \(m(\tau)=\tau\, M\) et \(v(\tau)=\tau^2\,
V+\tau\, M\) impliquent que \(v(\tau)/m(\tau)^2\) est à peu près constant
(c'est-à-dire indépendant de t) pour de grandes valeurs de t et que
\(v(\tau)/m(\tau)\) est à peu près constant pour de petites valeurs de t.
[2007MBEFig2.png] Figure 2. Variance rapportée \(v(\tau)\) en fonction du nombre
moyen rapporté de partenaires \(m(\tau)\) (échelle logarithmique). Lignes
continues: \(\,(m(\tau)=\tau\, M,\, v(\tau)=\tau^2\, V+\tau\, M)\) avec
\((M,V)\,\) fixé et un intervalle t variable. Points: données du tableau 2
(hommes à gauche, travailleuses du sexe à droite). En pointillé: loi de puissance
\(\,v=a\, m^b\) de [3].
5. Conclusion
L'influence des modèles mathématiques a été analysée dans [17] de la manière
suivante. L'auteur est vice-président de Futures Group. Cela peut expliquer
pourquoi l'enquête menée au Yunnan et au Sichuan par Futures Group Europe
rapporte à la fois la moyenne et la variance pour la distribution du nombre de
partenaires sexuels :
The results of several modeling efforts, especially those of Roy Anderson and
colleagues [...] have shown that the rate of partner change is one of the key
factors influencing the speed and size of the epidemic [...] Although there is
little evidence that this understanding has influenced program design to any
great extent, it has certainly influenced research and evaluation efforts.
Several of the key prevention indicators developed by GPA (Global Program on
AIDS), UNAIDS, and USAID are designed to measure rates of partner change and
concurrent partnerships. If these indicators are seriously applied, they will
eventually influence program decisions by showing which interventions improve
these indicators and which do not affect them.
Dans cet article, on a essayé d'appliquer « sérieusement » l'indicateur M+V/M aux
données du Yunnan. On a trouvé des relations simples entre
* les paramètres théoriques \(\,(M,V)\)
* la moyenne \(m(\tau)\) et la variance \(v(\tau)\) pour une période de temps
t.
Il s'avère que l'expression pour l'indicateur \(\,M+V/M\) en fonction de
\(m(\tau)\) et \(v(\tau)\,\) a une forme semblable à un paramètre important de la
théorie des graphes aléatoires. Notre formulation fait aussi douter de la
mystérieuse loi de puissance de [3].
Remerciements
Les auteurs ont reçu le soutien du Programme de Recherches Avancées de
Coopérations Franco-Chinoises (PRA SI05-01, Modélisation de l'épidémie de
VIH/SIDA dans les provinces du Yunnan et du Xinjiang).
Références bibliographiques
1. R. M. Anderson, R. M. May, The invasion, persistence and spread of infectious
diseases within animal and plant communities, Philos. Trans. R. Soc. Lond. B,
314 (1986), 533-570.
2. R. M. Anderson, G. F. Medley, R. M. May, A. M. Johnson, A preliminary study
of the transmission dynamics of the human immunodeficiency virus (HIV), the
causative agent of AIDS, IMA J. Math. Appl. Med. Biol., 3 (1986), 229-263.
3. R. M. Anderson, R. M. May, Epidemiological parameters of HIV transmission,
Nature, 333 (1988), 514-519.
4. R. M. Anderson, R. M. May, Infectious Diseases of Humans: Dynamics and
Control, Oxford University Press, 1991.
5. N. Baca\ddot{e}r, X. Abdurahman, J. Ye, Modeling the HIV/AIDS epidemic among
injecting drug users and sex workers in Kunming, China, Bull. Math. Biol., 68
(2006), 525-550.
6. O. Diekmann, J. A. P. Heesterbeek, Mathematical Epidemiology of Infectious
Diseases, John Wiley & Sons, New York, 2000.
7. W. Feller, An Introduction to Probability Theory and its Applications, vol.
I, 3e éd., John Wiley & Sons, New York, 1968.
8. J. Grandell, Mixed Poisson Processes, Chapman & Hall, London, 1997.
9. R. H. Gray, M. J. Wawer, R. Brookmeyer et al., Probability of HIV-1
transmission per coital act in monogamous, heterosexual, HIV-1-discordant
couples in Rakai, Uganda, Lancet, 357 (2001), 1149-1153.
10. M. Greenwood, G. U. Yule, An inquiry into the nature of frequency
distributions representative of multiple happenings with particular reference
to the occurence of multiple attacks of disease or of repeated accidents, J.
Roy. Statist. Soc., 83 (1920), 255-279.
11. Horizon Market Research and Futures Group Europe, 2001 Behavioural
Surveillance Survey in Yunnan and Sichuan: Adult Male Report, 2002,
http://www.futuresgroup.com/Documents/2001BSSadultmale.pdf
12. Horizon Market Research and Futures Group Europe, 2001 Behavioural
Surveillance Survey in Yunnan and Sichuan: Sex Worker Report, 2002,
http://www.futuresgroup.com/Documents/2001BSSsexworker.pdf
13. L. Lu, M. Jia, X. Zhang et al., Analysis for epidemic trend of acquired
immunodeficiency syndrome in Yunnan Province of China, Chin. J. Prev. Med.,
38 (2004), 309-312.
14. T. D. Mastro, G. A. Satten, T. Nopkesorn et al., Probability of
female-to-male transmission of HIV-1 in Thailand, Lancet, 434 (1994),
204-207.
15. R. M. May, R. M. Anderson, Transmission dynamics of HIV infection, Nature,
326 (1987), 137-142.
16. M. Molloy, B. Reed, The size of the giant component of a random graph with a
given degree sequence, Combin. Probab. Comput., 7 (1998), 295-305.
17. J. M. Stover, Influence of mathematical modeling of HIV and AIDS on policies
and programs in the developing world, Sex. Transm. Dis., 27 (2000), 572-578.
18. Y. Xiao, S. Kristensen, J. Sun et al., Expansion of HIV/AIDS in China:
Lessons from Yunnan Province, Soc. Sci. Med., 64 (2007), 665-675.
19. H. Yu, X. An, M. Jia et al., Report on HIV/AIDS surveillance in Yunnan
province in 1999, J. Chin. AIDS/STD Prev. Cont., 7 (2001), 74-76.
20. J. Zhang, H. Cheng, M. Jia et al., Ten years of experience on AIDS control in
Yunnan (1989-1998), Chin. J. Epidemiol., 20 (1999), 377-380.
21. X. Zhang, Y. Ma, H. Yu et al., Analysis on the surveillance result of
HIV/AIDS in Yunnan in 2001, Ji Bing Jian Ce, 17 (2002), 327-330.
22. X. Zhang, J. Lu, L. Fu et al., Analysis on survey results of HIV/AIDS in
Yunnan Province in 2003, Ji Bing Jian Ce, 19 (2004), 409-412.
Usage: http://www.kk-software.de/kklynxview/get/URL
e.g. http://www.kk-software.de/kklynxview/get/http://www.kk-software.de
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