Ergebnis für URL: http://www.ummisco.ird.fr/perso/bacaer/BIM.html Un modèle mathématique pour une transition démographique partielle
Revue ARIMA 32 (2021)
Nicolas Bacaër ^1 Hisashi Inaba^2 Ali Moussaoui^3
1: Institut de recherche pour le développement, Unité de modélisation
mathématique et informatique des systèmes complexes, Les Cordeliers, Paris,
France, nicolas.bacaer@ird.fr
2: Université de Tokyo, Département de mathématiques, Tokyo, Japon,
inaba@ms.u-tokyo.ac.jp
3: Université de Tlemcen, Département de mathématiques, Tlemcen, Algérie,
moussaouidz@yahoo.fr
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Résumé
On étudie un modèle mathématique pour la transition démographique. Il y a deux
classes d'âge et deux niveaux de fécondité. Les adultes avec une fécondité élevée
imitent les adultes avec une fécondité faible. Lorsque le coefficient d'imitation
augmente, la population traverse deux seuils entre lesquels la population croît
ou décroît exponentiellement avec un mélange stable des deux fécondités. Cette
transition démographique partielle rappelle la situation dans certains pays
d'Afrique subsaharienne.
Mots-clés : modèle mathématique, transition démographique, croissance
exponentielle
1 Introduction
La transition démographique est un phénomène qui s'étend sur des décennies.
La population voit d'abord sa mortalité baisser. Puis, avec un certain retard, la
fécondité baisse aussi. À cause de ce décalage, la population croît souvent de
manière considérable, avec d'importantes conséquences économiques et sociales
[3].
L'hypothèse bien connue de la modernisation insiste sur le fait que le faible
taux de fécondité est le résultat d'une adaptation individuelle à des
environnements modernisés : industrialisation, urbanisation, changements de
normes éducatives et familiales. Il est néanmoins difficile d'établir un lien
direct entre la baisse de la fécondité et de nombreux indices du niveau de
développement social. On cherche par conséquent un mécanisme dynamique pour
comprendre l'écart entre le changement d'attitude individuel et les données
statistiques macroscopiques.
Si l'on suit le découpage en « trois démographies » de [9], on peut dire que
la transition démographique peut être envisagée sous trois angles : statistique,
politique ou mathématique. C'est sous ce dernier angle, illustré notamment par
les travaux de Verhulst ou de Lotka [19, 12] et résumé par exemple par [14], que
l'on va considérer le problème.
Du point de vue de la modélisation mathématique, la transition démographique
peut être présentée soit comme exogène, soit comme endogène. Dans le premier cas,
la population est supposée homogène mais la modernisation des conditions de vie
fait que les paramètres démographiques varient dans le temps. Cela conduit à des
modèles non autonomes [1].
L'approche endogène consiste au contraire à utiliser des modèles autonomes,
c'est-à-dire dont les coefficients ne dépendent pas du temps, avec une population
hétérogène. Les changements qualitatifs résultent alors de l'interaction entre
les sous-populations. La transition démographique est un peu analogue à une
épidémie. Des normes culturelles novatrices qui réduisent le nombre de naissances
peuvent être transmises par des individus à faible fécondité (les « infectés ») à
des individus traditionnels à fécondité élevée (les personnes « saines »), comme
dans la théorie de la diffusion [18, 13]. Ce processus de transmission peut être
déclenché par des changements socio-économiques et environnementaux.
[8] a récemment développé ce point de vue épidémique pour la théorie de la
diffusion de la transition de la fécondité. Le déclin de la fécondité est décrit
comme le résultat de la diffusion de la tendance à avoir moins d'enfants. Leur
premier modèle divisait la population entre individus avec une fécondité élevée
et individus avec une fécondité faible, \(\,P_1(t)\) et \(P_2(t)\). Leurs nombres
évoluaient selon un système différentiel homogène de degré un \begin{equation*}
\frac{dP_1}{dt}=r_1\, P_1-b\, \frac{P_1\, P_2}{P_1+P_2}\, , \quad
\frac{dP_2}{dt}=r_2\, P_2+b \, \frac{P_1\, P_2}{P_1+P_2}\, . \end{equation*}
\(r_1\) et \(r_2\) sont les taux de croissance des populations isolées, avec
\(r_1 > r_2\). \(\,b\,\) est un coefficient d'imitation indiquant le taux maximum
auquel les individus avec une fécondité élevée adoptent une fécondité faible. Ce
taux est supposé dépendre linéairement de la fraction de la population avec une
fécondité faible : \(\,f(t)=P_2(t)/(P_1(t)+P_2(t))\). En termes écologiques,
c'est un système proies-prédateurs à la manière de Lotka et Volterra [20] mais
avec un taux de prédation non linéaire qui ne dépend que du rapport des deux
populations, comme dans le modèle d'Arditi et Ginzburg [11, § 2.3]. L'analyse
mathématique est très simple. Il suffit d'observer que \(\,f(t)\) est solution
d'une équation logistique. Selon que \(\,b < r_1-r_2\) ou \(b > r_1-r_2\,\), la
population totale tend à croître exponentiellement avec un taux \(r_1\) ou
\(r_2\,\) et c'est la fraction de la population avec une fécondité faible ou
celle avec une fécondité élevée qui converge vers 0. En partant d'une population
avec une fécondité élevée et quelques individus avec une fécondité faible, la
transition démographique a donc lieu si et seulement si \(\,b > r_1-r_2\).
Dans un deuxième temps, [8] étudie une version structurée par âge du même
modèle. Comme l'âge x était une variable continue, cela conduisait à un système
d'équations aux dérivées partielles du type de McKendrick et von Foerster :
\begin{eqnarray*} \frac{\partial P_1(t,x)}{\partial t}+\frac{\partial
P_1(t,x)}{\partial x}&=&-m(x) P_1(t,x) -\pi(t,x) P_1(t,x),\\ \frac{\partial
P_2(t,x)}{\partial t}+\frac{\partial P_2(t,x)}{\partial
x}&=&-m(x)P_2(t,x)+\pi(t,x)P_1(t,x),\\ P_1(t,0)&=&\int_{0}^{\infty}a_1(x)\,
P_1(t,x)\, dx,\\ P_2(t,0)&=&\int_{0}^{\infty}a_2(x)\, P_2(t,x)\, dx,
\end{eqnarray*} avec \[ \pi(t,x):=\frac{\int_{0}^{\infty}b(x,y)\, P_2(t,y)\,
dy}{\int_{0}^{\infty}[P_1(t,y)+P_2(t,y)]\, dy}. \] Dans ce modèle, \(m(x)\) est
le taux de mortalité, \(a_1(x)\) et \(a_2(x)\,\) sont les taux de fertilité.
L'analyse mathématique du modèle est alors plus compliquée et seuls des résultats
très partiels ont été obtenus. Il n'existe en général plus un seul seuil mais
deux. Sous le premier seuil et au-dessus du second seuil, il existe une unique
solution exponentielle triviale localement stable (au sens de la théorie des
systèmes homogènes) composée d'individus avec une fécondité élevée dans le
premier cas, avec une fécondité faible dans le second cas. Entre les deux seuils,
au moins pour certaines valeurs des paramètres (c'est-à-dire avec certaines
conditions supplémentaires certainement non optimales), il a été possible de
prouver l'existence d'une solution exponentielle non triviale avec des individus
qui ont des fécondités différentes. L'unicité et la stabilité de cette solution
non triviale n'ont pas été abordées. Pour cette solution, le taux de croissance
de la population est intermédiaire entre les deux cas extrêmes. Il y a une
transition démographique partielle. Cette différence qualitative avec le premier
modèle n'était pas évidente a priori.
Le régime entre les deux seuils semblait anecdotique dans [8], puisque la
motivation provenait de la démographie du Japon. La transition démographique y
est si avancée que le taux de croissance de la population est devenu négatif. On
se trouve au-delà du second seuil. En revanche, il se pourrait que le régime
intermédiaire présente un intérêt dans le cas de certains pays d'Afrique
subsaharienne. La fécondité moyenne y a effectivement baissé un peu mais bien
moins que ce que prévoyaient les démographes [10]. Par ailleurs, les difficultés
d'analyse du système d'équations aux dérivées partielles poussent à chercher un
modèle plus simple pour une transition démographique partielle.
On étudie donc ci-dessous un modèle avec seulement deux classes d'âge (jeunes
et adultes) au lieu d'un âge qui varie continûment. L'intérêt est qu'il conserve
le même phénomène de transition à deux seuils. Ceci permet de faire une étude
plus complète. On montre notamment que la solution non triviale est unique et que
son domaine d'existence coïncide exactement avec le domaine d'instabilité des
solutions triviales. On parvient aussi à prouver la stabilité locale de la
solution non triviale.
On présente le modèle dans la section 2 avec ses solutions exponentielles
triviales et non triviales. On étudie la stabilité des solutions exponentielles
dans la section 3 en utilisant notamment le critère de Routh-Hurwitz et la
théorie des systèmes différentiels homogènes de degré un. Pour cette théorie,
voir [6, p. 638] et les livres [5, chap. 5], [7, chap. 4] et [16, chap. 4]. Comme
le système est de dimension 4, la stabilité de la solution exponentielle non
triviale présente une difficulté qui était absente des exemples des références
ci-dessus, et qui a nécessité l'utilisation d'un logiciel de calcul formel. La
section 4 présente un exemple numérique qui se veut représentatif de quelques
pays d'Afrique subsaharienne. La section 5 propose une conjecture pour le
comportement asymptotique global faute d'avoir trouvé une fonction de Liapounov
convenable. Quoique plus simple que celle du système d'équations aux dérivées
partielles, l'analyse de notre modèle est donc encore incomplète.
2 Le modèle et ses solutions exponentielles
On définit
* \(X_1(t)\) le nombre de jeunes de familles fécondes
* \(Y_1(t)\) le nombre d'adultes de familles fécondes
* \(X_2(t)\) le nombre de jeunes de familles avec une fécondité réduite
* \(Y_2(t)\) le nombre d'adultes de familles avec une fécondité réduite.
On suppose \begin{eqnarray} \frac{dX_1}{dt} &=& a_1\, Y_1 - (c+m)\, X_1 \, ,\quad
\frac{dY_1}{dt} = c\, X_1 - m\, Y_1 - b\, \frac{Y_1\, Y_2}{Y_1+Y_2} \, ,\tag{1}\\
\frac{dX_2}{dt} &=& a_2\, Y_2 - (c+m)\, X_2 \, ,\quad \frac{dY_2}{dt} = c\, X_2 -
m\, Y_2 + b\, \frac{Y_1\, Y_2}{Y_1+Y_2} \, .\tag{2} \end{eqnarray} \(a_1 > 0\) et
\(a_2 > 0\) sont les fécondités (\(a_1 > a_2\)), \(m > 0\) est la mortalité, \(c
> 0\) est le taux de passage des jeunes à l'âge adulte, et \(b > 0\,\) est le
taux maximum auquel les adultes avec une fécondité élevée adoptent une fécondité
faible. La fraction d'adultes moins féconds dans la population adulte,
\(\,Y_2/(Y_1+Y_2)\,\), intervient dans ce modèle. Au contraire, dans le deuxième
modèle de [8], c'était la fraction d'individus de familles peu fécondes dans la
population totale. On suppose \(\,X_1(0) > 0\), \(Y_1(0) > 0\), \(X_2(0) > 0\) et
\(Y_2(0) > 0\).
On définit \(\,Z=(X_1,Y_1,X_2,Y_2)\,\). Le système différentiel ci-dessus
peut s'écrire sous la forme suivante \begin{equation} \frac{dZ}{dt}=F(Z) \tag{3}
\end{equation} avec une fonction F qui est une fonction vectorielle homogène de
degré un. L'existence globale et la positivité des solutions du système (3) se
montrent comme dans les modèles démographiques avec mariage. Voir par exemple
[16, chap. 4]. La positivité résulte de ce que \(\,dX_1/dt\geq 0\) si \(X_1=0\),
\(dY_1/dt\geq 0\) si \(Y_1=0\), etc. Avec une condition initiale dont les
composantes sont toutes strictement positives, chaque composante reste même
strictement positive pour tout t>0. L'existence globale résulte de l'inégalité à
laquelle obéit la population totale \[P=X_1+Y_1+X_2+Y_2,\quad \frac{dP}{dt} \leq
(a_1-m) P.\]
\(Z(t)= e^{\lambda t} z\) est une « solution exponentielle positive » du
système (3) si
* \(z=(z_i)\) est un vecteur avec \(z_i\geq 0\, \forall \, i\)
* \(\sum_i z_i > 0\)
* \((\lambda,z)\) est une solution du problème de valeur propre non linéaire
\(\lambda z=F(z).\)
Si (l,z) est une pareille solution et si a>0, alors \(\,(\lambda,\alpha z)\,\)
est aussi une solution. On dit qu'une solution exponentielle positive est
normalisée si \(\,\sum_i z_i = 1\).
Proposition 1 . Il existe une unique solution exponentielle positive normalisée
de la forme \(\,e^{\lambda_1 t} (x_1,y_1,0,0)\) \[\lambda_1= \frac{ -c+
\sqrt{c^2+4a_1 c} }{2}-m,\quad x_1=\frac{-c+\sqrt{c^2+4a_1 c}}{c+\sqrt{c^2+4a_1
c}},\quad y_1=\frac{2c}{c+\sqrt{c^2+4a_1 c}} .\] De même, il existe une unique
solution exponentielle positive normalisée de la forme \(e^{\lambda_2 t}
(0,0,x_2,y_2)\) \[\lambda_2= \frac{ -c+ \sqrt{c^2+4a_2 c} }{2}-m,\quad
x_2=\frac{-c+\sqrt{c^2+4a_2 c}}{c+\sqrt{c^2+4a_2 c}},\quad
y_2=\frac{2c}{c+\sqrt{c^2+4a_2 c}} .\] Dans le cas \(\,b_1 < b < b_2\) avec \[
b_1=\frac{2(a_1-a_2)}{1+\sqrt{1+4a_1/c}}, \quad
b_2=\frac{2(a_1-a_2)}{1+\sqrt{1+4a_2/c}},\] alors il existe une unique solution
exponentielle positive normalisée de la forme \(e^{\lambda^*
t}(x_1^*,y_2^*,x_2^*,y_2^*)\) avec \(x_1^* > 0\), \(y_1^* > 0\), \(x_2^* > 0\) et
\(y_2^* > 0\) \[\lambda^* = c \left ( \frac{a_1-a_2}{b}-1 \right )-m,\]
\[x_1^*=\frac{a_1}{a_1-a_2} \left [ 1 - \frac{b}{a_1-a_2} - \frac{a_2
b^2}{c(a_1-a_2)^2} \right ] ,\quad y_1^*=\frac{c}{b}-\frac{c}{a_1-a_2} -
\frac{a_2 b}{(a_1-a_2)^2}\, ,\] \[x_2^* =\frac{a_2}{a_1-a_2} \left [
\frac{b}{a_1-a_2} - 1+ \frac{a_1 b^2}{c(a_1-a_2)^2} \right ] ,\quad
y_2^*=\frac{c}{a_1-a_2}-\frac{c}{b}+ \frac{a_1 b}{(a_1-a_2)^2}\, .\]
Preuve. Pour la première solution, \[(x_1,y_1)\neq (0,0),\quad (\lambda+m)\,
x_1 = a_1 y_1- c\, x_1,\quad (\lambda+m)\, y_1 = c\, x_1.\] D'où l'équation
quadratique pour l \[(\lambda+m) (c+\lambda+m)- a_1 c=0.\] Les deux racines sont
\[ \frac{ -c\pm \sqrt{c^2+4a_1 c} }{2}-m\] mais seule celle avec un + conduit à
des solutions positives \((x_1,y_1)\).
La deuxième solution s'obtient de la même manière en remplaçant l'indice 1
par l'indice 2.
Pour la troisième solution, \begin{eqnarray} (\lambda+m) x_1 &=& a_1 \, y_1 -
c\, x_1\, ,\quad (\lambda+m) y_1 = c\, x_1 - b\, \frac{y_1\, y_2}{y_1+y_2}\,
,\tag{4}\\ (\lambda+m) x_2 &=& a_2 \, y_2 - c\, x_2\, ,\quad (\lambda+m) y_2 =
c\, x_2 + b \, \frac{y_1\, y_2}{y_1+y_2}\, .\tag{5} \end{eqnarray} On ne peut pas
avoir \(c+\lambda+m=0\) car sinon \(y_1=0\). On a donc \(\,x_1=a_1
y_1/(c+\lambda+m)\) et \(x_2=a_2 y_2/(c+\lambda+m)\). D'où, en remplaçant dans
les deux autres équations et en divisant par \(\,y_1\) ou \(y_2\), \[ \lambda+m =
c \, \frac{a_1}{c+\lambda+m} - b\, \frac{y_2}{y_1+y_2}\, ,\quad \lambda+m = c \,
\frac{a_2}{c+\lambda+m} + b\, \frac{y_1}{y_1+y_2}\, . \] En soustrayant ces deux
équations, on obtient \begin{equation} \lambda = c \left ( \frac{a_1-a_2}{b}-1
\right )-m\, ,\quad \frac{y_1}{y_2} =
\frac{1}{\frac{a_1}{a_1-a_2}+\frac{c}{b}-c\,
\frac{a_1-a_2}{b^2}}-1:=\frac{1}{Q}-1\, .\tag{6} \end{equation} Le membre de
droite dans la formule pour \(y_1/y_2\,\) doit être strictement positif. On a
\[\frac{1}{Q}-1 \mathop{\longrightarrow}_{b\to 0^+} -1,\quad \quad \frac{1}{Q}-1
\mathop{\longrightarrow}_{b\to +\infty} -\frac{a_2}{a_1} < 0,\] et
\[\frac{dQ}{db}=-\frac{c}{b^2} +\frac{2c(a_1-a_2)}{b^3}.\] On définit
\(b_3=2(a_1-a_2)\). On a \[\frac{dQ}{db}(b) > 0\quad \forall b \in ]0,b_3[,\quad
\quad \frac{dQ}{db}(b_3) = 0,\quad \quad \frac{dQ}{db} < 0\quad \forall b >
b_3.\] Par ailleurs, un petit calcul montre que \(Q(b_1)=0\) et \(Q(b_2)=1\). On
a aussi \(\,b_1 < b_2 < b_3\). On en conclut que
* sur l'intervalle \(]0,b_1[\), \(1/Q-1\) est une fonction décroissante qui
décroît de -1 à -infty,
* sur l'intervalle \(]b_1,b_2[\), \(1/Q-1\) est une fonction décroissante qui
décroît de +infty à 0,
* sur l'intervalle \(]b_2,b_3[\), \(1/Q-1\) est encore une fonction
décroissante et \(1/Q-1 b_1\).
* La solution exponentielle normalisée de la proposition 1, \(\,e^{\lambda_2 t}
(0,0,x_2,y_2)\,\), est asymptotiquement stable si \(b > b_2\), instable si
\(b < b_2\).
* La solution exponentielle normalisée de la proposition 1, \(\,e^{\lambda^* t}
(x_1^*,y_1^*,x_2^*,y_2^*)\,\), est asymptotiquement stable pour \(b_1 < b <
b_2\).
Preuve. De manière générale, si \(\,z=(x_1,y_1,x_2,y_2)\) avec \(y_1+y_2 >
0\) et si \(p=y_2/(y_1+y_2)\), on a alors \begin{equation} J_F(z) = \left
(\begin{array}{cccc} -c-m & a_1 & 0 & 0\\ c &-b\, p^2-m & 0 & - b (1-p)^2\\ 0 & 0
& -c-m & a_2\\ 0 & b\, p^2 & c & b (1-p)^2-m \end{array} \right ).\tag{11}
\end{equation}
Dans le premier cas, on a p=0, donc \[ J_F(z)=\left (\begin{array}{cc|cc}
-c-m & a_1 & 0 & 0\\ c & -m & 0 & -b \\ \hline 0 & 0& -c-m & a_2\\ 0 & 0 & c &
b-m \end{array} \right ).\] La plus grande valeur propre du bloc supérieur gauche
est \(\lambda_1\). La plus grande valeur propre du bloc inférieur droit est
\[\mu_2= \frac{ b-c+\sqrt{(b+c)^2+4a_2c}}{2}-m.\] C'est une fonction croissante
de b. Après quelques calculs, on obtient \(\,\mu_2 > \lambda_1\) si \(b > b_1\)
et \(\mu_2 < \lambda_1\) si \(b < b_1\).
Dans le deuxième cas, on a p=1, donc \[ J_F(z)= \left (\begin{array}{cc|cc}
-c-m & a_1 & 0 & 0\\ c & -b-m & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0& -c-m & a_2\\ 0 & b & c &
-m \end{array} \right ) .\] La plus grande valeur propre du bloc inférieur droit
est \(\lambda_2\). La plus grande valeur propre du bloc supérieur gauche est
\[\mu_1= \frac{ -b-c+\sqrt{(b-c)^2+4a_1c}}{2}-m.\] C'est une fonction
décroissante de b parce que \[2 \, \frac{d\mu_1}{db} = -1+
\frac{b-c}{\sqrt{(b-c)^2+4a_1c}} < 0.\] Après quelques calculs, on obtient
\(\,\mu_1 > \lambda_2\) si \(b < b_2\) et \(\mu_1 < \lambda_2\) si \(b > b_2\).
Dans le troisième cas, on a \(0 < p < 1\). Il résulte alors de l'équation (6)
que \[p = \frac{y_2^*}{y_1^* + y_2^*}= \frac{a_1}{a_1 - a_2} + \frac{c}{b} - c\,
\frac{a_1 - a_2}{b^2}\, .\] On sait déjà que \(\lambda^*\) est une valeur propre
de la matrice \(J_F(z)\,\) définie par (11). La question est de savoir si les
trois autres valeurs propres ont une partie réelle strictement inférieure à
\(\,\lambda^*\). Autrement dit, la matrice \(\,M=J_F(z)-\lambda^* I\) a une
valeur propre nulle et il s'agit de savoir si les autres valeurs propres ont une
partie réelle strictement négative. On a \[ M=\left ( \begin{array}{cccc}
-c\frac{a_1-a_2}{b} & a_1 & 0 & 0 \\ c & -bp^2-c\frac{a_1-a_2}{b}+c & 0 &
-b(1-p)^2\\ 0 & 0 & -c\frac{a_1-a_2}{b} & a_2 \\ 0 & b p^2 & c &
b(1-p)^2-c\frac{a_1-a_2}{b}+c \end{array} \right ).\] Le polynôme caractéristique
est donc de la forme \[ \chi(\xi)=\mathrm{d\acute{e}t}(M-\xi I)=\xi(\xi^3+k_2
\xi^2 + k_1 \xi + k_0).\] Avec un développement selon la première colonne, on
trouve \begin{eqnarray*} \chi(\xi)&= &- \left [c\frac{a_1-a_2}{b}+\xi \right ]
\Biggl \{ \left [bp^2+c\frac{a_1-a_2}{b}-c+\xi \right ] \left [
c\frac{a_1-a_2}{b} +\xi \right ] \left [b(1-p)^2-c\frac{a_1-a_2}{b}+c-\xi \right
]\\ &&\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad -b^2 p^2 (1-p)^2 \left [ c
\frac{a_1-a_2}{b} +\xi \right ] +a_2 c \left [bp^2+c\frac{a_1-a_2}{b}-c+\xi
\right ] \Biggr \} \\ &&-c \Biggl \{ - a_1 \left [ c \frac{a_1-a_2}{b} +\xi
\right ] \left [b(1-p)^2-c\frac{a_1-a_2}{b}+c-\xi \right ] -a_1 a_2 c \Biggr \}.
\end{eqnarray*} Pour le coefficient de \(\xi^3\), on trouve \[k_2=4c
\frac{a_1-a_2}{b} -2c -b (1-2p),\] et après simplification \[k_2= \frac{(a_1+a_2)
b^2+2(a_1-a_2)^2 c}{(a_1-a_2)b}.\] Pour le coefficient de \(\xi^2\), on trouve
\begin{eqnarray*} k_1 &= & \left [ -3 c \frac{a_1-a_2}{b} - bp^2+c\right ] \left
[b(1-p)^2-c\frac{a_1-a_2}{b}+c \right ] + c^2 \frac{(a_1-a_2)^2}{b^2} \\ & &+ 2
c\frac{a_1-a_2}{b} \left [bp^2+c\frac{a_1-a_2}{b}-c \right ] + b^2 p^2 (1-p)^2
-a_1 c - a_2 c, \end{eqnarray*} et après une simplification laborieuse \[k_1= c
\, \frac{[2(a_1-a_2)-b] [ (a_1+a_2)b+(a_1-a_2)c ]}{(a_1-a_2)b}.\] Enfin, pour le
coefficient de c, on a utilisé le logiciel de calcul formel Xcas
([1]https://www.xcasenligne.fr) pour obtenir \[k_0 =-c\,
\frac{[a_1b^2+(a_1-a_2)bc-(a_1-a_2)^2c]
[a_2b^2+(a_1-a_2)bc-(a_1-a_2)^2c]}{(a_1-a_2)b^3}.\] \(k_0\) peut aussi s'écrire
sous la forme \begin{eqnarray*} k_0 &=& - k (b-b_1)(b-b_2) \, , \\ k &=&
\frac{a_1 a_2 c}{b^3 (a_1-a_2)} \left (b+\frac{2(a_1-a_2)}{\sqrt{1+4a_1/c}-1}
\right )\left (b+\frac{2(a_1-a_2)}{\sqrt{1+4a_2/c}-1} \right )\, .
\end{eqnarray*} Pour que les trois racines du polynôme \(\xi^3+k_2 \xi^2 + k_1
\xi + k_0\) aient une partie réelle strictement négative, il faut et il suffit
d'après le critère de Routh-Hurwitz que \(k_2 > 0\), \(k_1 > 0\), \(k_0 > 0\) et
\(k_1 k_2-k_0 > 0\) [17, p. 134]. On a \(\,k_2 > 0\). D'autre part, \(k_1 > 0\)
si \(0 < b < 2(a_1-a_2)\) et donc en particulier pour \(b_1 < b < b_2\) parce que
\(b_2 < a_1-a_2\). On a aussi \(\,k_0 > 0\) si \(b_1 < b < b_2\). Il ne reste
donc qu'à prouver que \(\,k_1 k_2-k_0 > 0\) si \(b_1 < b < b_2\). En développant
le produit \(\,k_1k_2\,\) et en rangeant le numérateur comme un polynôme en la
variable b, on obtient \begin{eqnarray*} k_1k_2-k_0&=& \Bigl \{ (a_1-a_2)^5 c^2
+2(a_1-a_2)^4 c^2 b\\ &&+\bigl [-(a_1-a_2)^3 c^2 + 3(a_1+a_2)(a_1-a_2)^3 c\bigr
]\, b^2\\ &&+(a_1-a_2)^2(a_1+a_2)c\, b^3\\ &&+\bigl
[-(a_1-a_2)(a_1+a_2)c+a_1a_2(a_1-a_2)+2(a_1+a_2)^2(a_1-a_2)\bigr ] b^4\\
&&-(a_1+a_2)^2 b^5 \Bigr \} \frac{c}{(a_1-a_2)^2 b^3}. \end{eqnarray*} On
regroupe certaines parties : \begin{eqnarray*} k_1k_2-k_0&=& \Bigl \{ (a_1-a_2)^5
c^2 +(a_1-a_2)^3 c^2 b \bigl [2(a_1-a_2)-b\bigr ]\\ &&+ 3(a_1+a_2)(a_1-a_2)^3 c\,
b^2 +(a_1^2-a_2^2)c\, b^3 \bigl [(a_1-a_2)-b\bigr ]\\ &&+a_1a_2(a_1-a_2) b^4
+(a_1+a_2)^2 b^4 \bigl [2(a_1-a_2)-b\bigr ] \Bigr \} \frac{c}{(a_1-a_2)^2 b^3}.
\end{eqnarray*} Les termes entre crochets sont tous strictement positifs parce
que \(\,b < b_2 < a_1-a_2\). On a ainsi \(\,k_1 k_2 - k_0 > 0\). La troisième
solution est donc bien asymptotiquement stable pour \(\,b_1 < b < b_2\).
4 Exemple
Prenons \(a_1=10\%\,\) par an. Rappelons que ce paramètre est égal au nombre
de naissances dans les familles avec une fécondité élevée divisé par la
population adulte avec une fécondité élevée, et non le taux de natalité employé
habituellement en démographie, qui divise par la population totale. Prenons aussi
: \(a_2=4\%\) par an, \(c=5\%\) par an, de sorte que \(1/c=20\) ans, et
\(m=2\%\,\) par an. L'espérance de vie à la naissance est donc \(\,1/m=50\,\)
ans. Rappelons qu'en 2017, les espérances de vie pour les hommes et pour les
femmes étaient par exemple égales à 52 et 55 ans en Côte d'Ivoire, à 51 et 54 ans
au Tchad, à 50 et 53 ans en Centrafique [15].
Avec ces valeurs des paramètres, on obtient \(\lambda_1=3\%\) par an et
\(\lambda_2\simeq \mbox{0,62}\%\) par an, \(b_1= 3\%\) par an et \(b_2\simeq
3,9\%\,\) par an. La figure 1 montre les différents taux de croissance
\(\lambda_1\), \(\lambda^*\) et \(\lambda_2\,\) en fonction de b. On a une
transition démographique partielle si \(\,b_1 < b < b_2\,\), avec un taux de
croissance \(\lambda^*\). Par comparaison, le taux d'accroissement naturel est de
2,4% en Côte d'Ivoire, de 3,3% au Tchad et de 2,2% en Centrafique. Le Tchad
serait donc plutôt dans le cas où \(\,b < b_1\), tandis que les deux autres pays
seraient dans la situation intermédiaire avec \(b_1 < b < b_2\).
[figure1quetelet.png] Figure 1. Les taux asymptotiques de croissance de la
population \(\lambda_1\), \(\lambda^*\) et \(\lambda_2\,\) (ligne continue) en
fonction du coefficient d'imitation b (en abscisse). Les valeurs propres
\(\,\mu_1\) et \(\mu_2\) sont en pointillé.
Pour ce modèle, on peut calculer la proportion de « jeunes » dans la
population. Cette proportion est \[x_1/(x_1+y_1)=1/(1+c/(\lambda_1+m))=50\%\] si
\(\,b < b_1\). Cette proportion est \[x_2/(x_2+y_2)=1/(1+c/(\lambda_2+m))\simeq
34\%\] si \(b > b_2\). Néanmoins, étant donnée la structure du modèle, ces «
jeunes » auraient une moyenne d'âge \(\,1/(c+m)\simeq \mbox{14,3}\,\) ans. Il est
donc difficile de comparer avec les statistiques démographiques. D'après [15], la
proportion des moins de 15 ans est de 43% en Côte d'Ivoire, de 48% au Tchad et de
44% en Centrafique.
Le taux de natalité est
* \(a_1 y_1/(x_1+y_1)=a_1 c/(\lambda_1+m+c)=50\) pour 1000 habitants si \(b <
b_1\),
* \(a_2 y_2/(x_2+y_2)=a_2 c/(\lambda_2+m+c)=26\) pour 1000 habitants si \(b >
b_2\).
Pour les trois pays déjà considérés, les chiffres sont dans l'ordre 37, 46 et 36
pour 1000 habitants.
Ainsi donc, les valeurs choisies pour les paramètres ne sont pas trop
irréalistes.
5 Le comportement asymptotique
L'étude de stabilité n'était jusqu'ici que locale. Le système est de
dimension 4 et se ramène au mieux à un système de dimension 3. Il ne semble pas
possible d'utiliser le théorème de Poincaré-Bendixson pour déterminer le
comportement asymptotique global. Dans le modèle démographique avec des mariages
de [16, chap. 4], le système était de dimension deux.
Il est également difficile de trouver une fonction de Liapounov convenable.
Notre système homogène peut certes se transformer en un système avec uniquement
des termes linéaires ou quadratiques si l'on prend comme nouvelles inconnues
\(\,X_1/(Y_1+Y_2)\), \(Y_1/(Y_1+Y_2)\), \(X_2/(Y_1+Y_2)\) et \(Y_2/(Y_1+Y_2)\).
Mais la fonction de Liapounov avec des termes logarithmiques utilisée par exemple
par [2] pour une classe particulière de pareils systèmes ne semble pas convenir.
En s'inspirant du modèle linéaire de population de [4, p. 80], on obtient
cependant la proposition suivante.
Proposition 3. La fonction \[V(t)=\frac{1}{2} [e^{-\lambda_1 t} X_1(t)]^2
+\frac{1}{2} \frac{a_1}{c} [e^{-\lambda_1 t} Y_1(t)]^2\] est toujours positive et
décroissante.
Preuve. On définit plus généralement \(\,V(t)=\frac{1}{2} [e^{-\lambda t}
X_1(t)]^2 +\frac{1}{2} k [e^{-\lambda t} Y_1(t)]^2\) avec \(k > 0\). On a alors
\begin{eqnarray*} \frac{dV}{dt}&=&e^{-2\lambda t} X_1 [-\lambda X_1 + a_1 Y_1
-(c+m)X_1] \\ &&+ k\, e^{-2\lambda t} Y_1 \left [-\lambda Y_1 +c X_1 - mY_1 - b
\frac{Y_1Y_2}{Y_1+Y_2}\right ]\, . \end{eqnarray*} \(Y_1(t) > 0\) et \(Y_2(t) >
0\). Le terme avec b en facteur est donc négatif \begin{eqnarray*}
\frac{dV}{dt}&\leq& e^{-2\lambda t} \left [ (-\lambda-c-m) X_1^2 + (a_1+kc) X_1
Y_1 -(\lambda+m)k\, Y_1^2\right ]. \end{eqnarray*} Pourvu que \(\lambda+c+m\neq
0\), on obtient \begin{eqnarray*} \frac{dV}{dt}&\leq& e^{-2\lambda t} \Biggl
\{-(\lambda+c+m) \left [X_1-\frac{a_1+kc}{2(\lambda+c+m)} Y_1 \right ]^2\\ & &
\quad \quad \quad + \left [ \frac{(a_1+kc)^2}{4(\lambda+c+m)} -(\lambda+m)k
\right ] Y_1^2\Biggr \}. \end{eqnarray*} Le coefficient de \(Y_1^2\) est égal à 0
si on choisit \[\lambda=\frac{-c \pm \sqrt{c^2+2a_1 c +a_1^2/k + kc^2}}{2}-m.\]
On ne conserve que la racine avec un + dans \(\pm\), de sorte que \(\lambda+c+m >
0\). Cette racine, qui dépend de k, est minimale si \(\,a_1^2/k + kc^2\) est
minimum, c'est-à-dire si \(k=a_1/c\). Avec ce choix, on a \(\lambda=\lambda_1\)
et \begin{eqnarray*} \frac{dV}{dt}&\leq& - e^{-2\lambda_1 t} \,
\frac{c+\sqrt{c^2+4a_1c}}{2}\, \left [X_1 - \frac{\lambda_1+m}{c}\, Y_1\right ]^2
\leq 0. \end{eqnarray*}
\(V(t)\,\) converge vers une limite >=0. En particulier, il existe une
constante \(\,K > 0\) avec \(\forall \, t > 0, \ X_1(t)\leq K\, e^{\lambda_1 t}\)
et \(Y_1(t)\leq K\, e^{\lambda_1 t}\).
Proposition 4. La fonction \[W(t)=\frac{1}{2} [e^{-\lambda t} X_2(t)]^2
+\frac{1}{2} \frac{a_2}{c} [e^{-\lambda t} Y_2(t)]^2\] avec \begin{equation}
\lambda=\frac{b-c+\sqrt{(b+c)^2+4a_2 c}}{2}-m \tag{12} \end{equation} est
toujours positive et décroissante.
Preuve. On définit plus généralement \(\,W(t)=\frac{1}{2} [e^{-\lambda t}
X_2(t)]^2 +\frac{1}{2} k [e^{-\lambda t} Y_2(t)]^2\) avec \(k > 0\). On a alors
\begin{eqnarray*} \frac{dW}{dt}&=&e^{-2\lambda t} X_2 [-\lambda X_2 + a_2 Y_2
-(c+m)X_2] \\ &&+ k\, e^{-2\lambda t} Y_2 \left [-\lambda Y_2 +c X_2 - mY_2 + b
\frac{Y_1Y_2}{Y_1+Y_2}\right ]\, . \end{eqnarray*} Avec \(Y_1/(Y_1+Y_2)\leq 1\)
\begin{eqnarray*} \frac{dW}{dt}&\leq &e^{-2\lambda t} \left [ -(\lambda+c+m)
X_2^2 +(a_2 + k c) X_2 Y_2 + k (b-\lambda-m) Y_2^2 \right ]. \end{eqnarray*}
Pourvu que \(\lambda+c+m\neq 0\,\), on a \begin{eqnarray*} \frac{dW}{dt}&\leq
&e^{-2\lambda t} \Biggl \{ -(\lambda+c+m) \left [ X_2 -
\frac{a_2+kc}{2(\lambda+c+m)} Y_2 \right ]^2 \\ &&\quad \quad \quad + \left [ k
(b-\lambda-m) + \frac{(a_2+kc)^2}{4(\lambda+c+m)}\right ] Y_2^2 \Biggr \}.
\end{eqnarray*} Le coefficient de \(Y_2^2\) est égal à 0 si on choisit
\[\lambda=\frac{b-c \pm \sqrt{(b+c)^2+2a_2 c +a_2^2/k + kc^2}}{2}-m.\] On ne
conserve que la racine avec un + dans \(\pm\), de sorte que \(\lambda+c+m > 0\).
Cette racine, qui dépend de k, est minimale si \(\,a_2^2/k + kc^2\) est minimum,
c'est-à-dire si \(k=a_2/c\). Alors l est donné par la formule (12) et on a
\(\,dW/dt \leq 0\).
Ces résultats ne permettent pas néanmoins de distinguer les différents
régimes selon la valeur de b. On conjecture que :
* si \(b < b_1\), on a \[e^{-\lambda_1 t } (X_1,Y_1,X_2,Y_2)
\mathop{\longrightarrow}_{t\to +\infty} (x_1,y_1,0,0)\] avec \(x_1 > 0\),
\(y_1 > 0\) et \((\lambda_1+m) y_1=c\, x_1\). C'est la population avec une
fécondité élevée qui en proportion finit par dominer.
* si \(b_1 < b < b_2\), on a \[e^{-\lambda^* t } (X_1,Y_1,X_2,Y_2)
\mathop{\longrightarrow}_{t\to +\infty} (x_1,y_1,x_2,y_2)\] et il existe une
constante \(\alpha > 0\) avec \((x_1,y_1,x_2,y_2)=\alpha
(x_1^*,y_1^*,x_2^*,y_2^*)\), ce dernier vecteur étant celui de la proposition
1. Il y a coexistence dans les proportions des sous-populations avec des
fécondités différentes ;
* si \(b > b_2\), on a \[e^{-\lambda_2 t } (X_1,Y_1,X_2,Y_2)
\mathop{\longrightarrow}_{t\to +\infty} (0,0,x_2,y_2)\] avec \(x_2 > 0\),
\(y_2 > 0\) et \((\lambda_2+m) y_2 = c\, x_2\). C'est la population avec une
fécondité basse qui en proportion finit par dominer.
Ainsi donc, la transition démographique partielle observée dans certains pays
d'Afrique subsaharienne pourrait correspondre au cas intermédiaire où \(b_1 < b <
b_2\).
Pour soutenir cette conjecture, considérons l'exemple numérique de la section
précédente. Prenons une condition initiale quelconque, par exemple
\(\,X_1(0)=Y_1(0)=X_2(0)=Y_2(0)=1\,\) (comme le système est homogène, on peut
penser à 1 million). La figure 2 montre comment le système se comporte selon la
position de b par rapport aux deux seuils. Si la conjecture semble bien se
confirmer, on notera cependant dans le cas où \(\,b_1 < b < b_2\,\) que le temps
caractéristique de convergence est assez long. La deuxième valeur propre de la
matrice jacobienne \(\,J_F(z)\) est proche de \(\lambda^*\).
[Figure2a.png]
[Figure2b.png]
[Figure2c.png] (a) Les fonctions \(t\mapsto e^{-\lambda_1 t } (X_1,Y_1,X_2,Y_2)\)
si \(b=\mbox{0,025} < b_1\). (b) Les fonctions \(\,t\mapsto e^{-\lambda^* t }
(X_1,Y_1,X_2,Y_2)\) si \(b=\mbox{0,035}\in ]b_1,b_2[\). (c) Les fonctions
\(\,t\mapsto e^{-\lambda_2 t } (X_1,Y_1,X_2,Y_2)\) si \(b=\mbox{0,05} > b_2\).
Pour simplifier, on a écrit \(\,(X_1,Y_1,X_2,Y_2)\) sur les différentes figures,
mais il s'agit bien des fonctions renormalisées par une exponentielle.
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