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N. Bacaër: Le pic épidémique dans un modèle S-I-R. [1]Quadrature 117 (2020) p.
9-12.
Nicolas Bacaër
Institut de recherche pour le développement
Unité de modélisation mathématique et informatique des systèmes complexes
Les Cordeliers, Paris, France
nicolas.bacaer@ird.fr
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Résumé
On étudie une épidémie modélisée par un système différentiel de type S-I-R.
Lorsque la population N est grande, le pic épidémique est au temps T, avec
\(\,T\sim (\ln N)/(a-b)\). \(\,a\) est le taux de contact effectif.
\(\,b\) est le taux auquel les personnes infectieuses guérissent.
Introduction
Considérons comme par exemple dans [1, 2, 6, 7, 8] le modèle S-I-R de Kermack
et McKendrick pour une épidémie \[\frac{dS}{dt} = -a \frac{S I}{N},\quad
\frac{dI}{dt} = a \frac{S I}{N} - b I,\quad \frac{dR}{dt}=b I.\] \(S(t)\) est le
nombre de personnes saines. \(I(t)\) est le nombre de personnes
infectées. \(R(t)\) est le nombre de personnes retirées de la transmission par
suite d'un isolement, d'une guérison ou d'un décès. \(N=S(t)+I(t)+R(t)\,\) est la
population totale. Cette population totale est supposée constante et suffisamment
grande pour qu'il soit raisonnable de modéliser l'épidémie par un système
différentiel plutôt que par un processus stochastique. Considérons les conditions
initiales \[S(0)=N-1,\quad I(0)=1,\quad R(0)=0,\] qui correspondent au démarrage
de l'épidémie à partir d'un seul « patient zéro ».
Le paramètre \(a\) (avec \(a > 0\)) est en fait le produit de deux nombres :
le nombre de contacts par unité de temps et la probabilité de transmission lors
d'un contact entre une personne non infectée et une personne infectée. Les
contacts ont lieu au hasard. \(\,I/N\,\) est la probabilité pour une personne
d'être dans le compartiment I. Ceci explique le terme quadratique en \(\,SI/N\,\)
dans le système différentiel. \(\,b>0\,\) est le taux auquel les personnes
quittent le compartiment I. L'hypothèse sous-jacente est donc que le temps passé
dans le compartiment I est distribué selon une loi exponentielle de paramètre b.
On supposera a>b pour qu'une véritable épidémie ait lieu.
Un exemple est détaillé à la figure 1. On a utilisé le logiciel Scilab et sa
fonction de résolution des systèmes différentiels. Cette fonction implémente un
schéma prédicteur-correcteur d'Adams pour les systèmes qui ne sont pas raides. On
a choisi \(\,N=65\times 10^6\) (la population de la France), \(a=1/2\) par jour
et \(b=1/4\,\) par jour. Au début de l'épidémie, une personne infectée infecte
donc en moyenne une personne tous les deux jours. La durée moyenne d'infection
\(\,1/b\,\) est de 4 jours. Cela correspond à une reproductivité
\(\,\mathcal{R}_0=a/b=2\,\) (le terme et la notation proviennent de [9, p. 102]).
\(\,\mathcal{R}_0\,\) est donc le nombre moyen de cas secondaires qu'une personne
infectée infecte au début de l'épidémie. Sans prétendre être réaliste, il s'agit
de valeurs du même ordre de grandeur que ce qu'on peut trouver pour l'épidémie de
coronavirus de 2020 dans le cas hypothétique où il n'y aurait aucune intervention
pour limiter l'épidémie [5].
[2020Quadrature_picFig1.png] Figure 1. Une simulation du modèle S-I-R avec en
abscisse le temps t en jours.
Le pic épidémique
En combinant la première et la troisième équation du système S-I-R, il est
bien connu [8, p. 76] qu'on trouve une intégrale première : \[ \frac{1}{S}
\frac{dS}{dt} = -a\, \frac{I}{N} = - \frac{a}{bN} \frac{dR}{dt}. \] On a donc
\[\ln [S(t)/S(0)] = -\frac{a}{bN} R(t).\] En reportant dans la première équation,
on trouve \[\frac{dS}{dt}=-a \frac{S}{N} (N-S-R) =-a \frac{S}{N} \left
(N-S+\frac{bN}{a} \ln [S(t)/S(0)]\right ).\] Le pic épidémique de la figure 1
correspond à \(dI/dt=0\), ce qui arrrive d'après la deuxième équation
quand \(S(t)=Nb/a\). \(\,S(t)\) est une fonction décroissante parce que \(dS/dt
\leq 0\,\) d'après la première équation. On en déduit que si T est l'instant du
pic épidémique, c'est-à-dire si \[I(T)=\max_{t>0} I(t),\] on a alors \[T=\int_0^T
dt = \int_{S(0)}^{bN/a} \frac{dS}{-a \frac{S}{N} \left (N-S+\frac{bN}{a} \ln
[S/S(0)]\right )}.\] On définit \(s=S/N\). On a alors \begin{equation}\tag{1}
T=\frac{1}{a} \int_{b/a}^{1-1/N} \frac{ds}{ s \left (1-s+\frac{b}{a} \ln
[s/(1-1/N)]\right )}. \end{equation}
On cherche un majorant de T. Pour tout \(\ b/a < s < 1-1/N\), on a
\[\frac{1}{s \left (1-s+\frac{b}{a} \ln [s/(1-1/N)] \right )}\leq \frac{1}{s
\left (1-s+\frac{b}{a} \ln s \right )}.\] Au voisinage de \(s=1\), on a \[
\frac{1}{s \left (1-s+\frac{b}{a} \ln s \right )} \sim \frac{1}{(1-s)(1-b/a)}\,
.\] L'intégrale \[\int_{b/a}^1 \frac{ds}{1-s}\] est divergente. Avec \(\,N\to
+\infty\), on obtient \[T \leq \frac{1}{a} \int_{b/a}^{1-1/N} \frac{ds}{s \left
(1-s+\frac{b}{a} \ln s \right )} \sim \frac{1}{a} \int_{b/a}^{1-1/N}
\frac{ds}{(1-s)(1-b/a)}\sim \frac{\ln N}{a-b}\, .\]
On cherche un minorant de T. On a \(\ln s \leq s-1\) pour tout \(\,s >
0\,\). On a par ailleurs \(\,\ln(1-1/N) \geq -2/N\) pour tout entier \(N\geq 2\).
On a donc pour \(\,s\in ]b/a,1-1/N[\,\) et pour tout nombre entier N>=2,
\begin{eqnarray*} 1-s+\frac{b}{a} \ln [s/(1-1/N)] &=& 1-s+\frac{b}{a} \ln s -
\frac{b}{a} \ln(1-1/N)\\ &\leq& 1-s+\frac{b}{a}(s-1)+\frac{2b}{aN}.
\end{eqnarray*} On a donc \[T\geq \frac{1}{a} \int_{b/a}^{1-1/N}
\frac{ds}{s[1-\frac{b}{a}+\frac{2b}{aN}-(1-b/a)s]}. \] On tombe sur une fraction
rationnelle de la forme \(\frac{1}{s(u-vs)}\) avec
\[u=1-\frac{b}{a}+\frac{2b}{aN},\quad v=1-b/a.\] Elle se décompose en éléments
simples \[\frac{1}{s(u-vs)}=\frac{1}{u} \left (\frac{1}{s}+\frac{v}{u-vs} \right
).\] Une primitive est \[\frac{1}{u} [\ln s - \ln(u-vs)]=\frac{1}{u} \ln
\frac{s}{u-vs}.\] On a donc \begin{eqnarray*} T &\geq&
\frac{1}{a(1-\frac{b}{a}+\frac{2b}{aN})} \ln \left \{ \frac{1-1/N}{b/a} \
\frac{1-\frac{b}{a}+\frac{2b}{aN} - (1-b/a)b/a}{1-\frac{b}{a}+\frac{2b}{aN} -
(1-b/a)(1-1/N)} \right \}\\ &=&\frac{1}{a-b+2b/N} \ln \left \{\frac{1-1/N}{b/a} \
\frac{(1-b/a)^2+\frac{2b}{aN} }{(1+b/a)/N} \right \}\\ &=&\frac{1}{a-b+2b/N}
\left [\ln N + \ln \left \{\frac{1-1/N}{b/a} \ \frac{(1-b/a)^2+\frac{2b}{aN}
}{(1+b/a)} \right \} \right ]. \end{eqnarray*} Le membre de droite est \(\sim
(\ln N)/(a-b)\) si \(N\to +\infty\). Comme c'est le même équivalent que celui
du majorant obtenu ci-dessus, on en conclut que \(T\sim (\ln N)/(a-b)\) si
\(N\to +\infty\).
Dans l'exemple de la figure 1, on a \(T\simeq \mbox{71,4}\) jours tandis
que \((\ln N)/(a-b)\simeq \mbox{72,0}\,\) jours. L'approximation semble assez
bonne. Dans la figure 2, on fait varier la taille N de la population ainsi que le
paramètre \(\,a\,\), avec b fixé. On remarque \((\ln N)/(a-b)\,\) tantôt
surestime, tantôt sous-estime T.
[2020Quadrature_picFig2.png] Figure 2. Comparaison entre d'une part la date T du
pic de l'épidémie (ligne continue), calculée avec l'intégrale de la formule (1),
d'autre part l'équivalent \(\,(\ln N)/(a-b)\) (grands pointillés) et
l'approximation \([\ln (2N(b/a-1)^2)]/(a-b)\) (petits pointillés), en fonction
de \(\ln N\), si \(\,10 \leq N \leq 10^8\,\) pour trois valeurs du paramètre a
avec une reproductivité \(\mathcal{R}_0=a/b\in \{\mbox{1,5}\ ;\ 2\ ;\ 3\}\).
\(a-b\,\) est le taux de croissance initial de l'épidémie. On a alors pour N
grand, \(\,S(t)\simeq N\) et \(dI/dt \simeq (a-b)I\). Ce taux peut être estimé
à partir des données épidémiologiques. La population N est connue. On peut donc
prévoir la date du pic de l'épidémie. En pratique, l'hypothèse sous-jacente au
modèle d'un mélange homogène de la population reste néanmoins douteuse pour un
pays entier, un peu moins pour une ville.
Historiquement, Kermack et McKendrick avaient résolu de manière approchée le
système S-I-R en supposant que la reproductivité était proche de 1, ce qui
conduit à une petite épidémie. Avec l'approximation \(\,e^{x}\simeq
1+x+x^2/2\,\), ils étaient parvenus à une équation de Riccati résoluble
explicitement, de sorte que \begin{equation}\tag{2} I(t)\simeq
\frac{X}{\mathrm{ch}^2(Yt-Z)}. \end{equation} X, Y et Z sont des fonctions
compliquées des paramètres N, a et b. Voir par exemple [3]. Le pic épidémique est
\(\,T \simeq Z/Y\). Notons au passage qu'à notre connaissance l'approximation (2)
n'a jamais été démontrée rigoureusement, ce pourquoi on utilise ci-dessus et
ci-dessous le signe informel \(\simeq\). On suppose maintenant en plus \(1/N\ll
(\mathcal{R}_0-1)^2\). Dans ce cas, \[Y\simeq \frac{a-b}{2},\quad Z\simeq
\frac{1}{2} \ln [2N(b/a-1)^2]\] (voir par exemple [4]), de sorte que \[T \simeq
\frac{\ln [2N(b/a-1)^2]}{a-b}\, .\] Cette approximation est également représentée
dans la figure 2 ; elle semble particulièrement proche de la vraie valeur de T si
\(\,\mathcal{R}_0\,\) est proche de 1, comme on pourrait s'y attendre. Avec N qui
converge vers l'infini, on a néanmoins \(T \simeq \frac{\ln N}{a-b}\,\). On
retrouve le même comportement asymptotique. Notre analyse basée sur la formule
(1) est valable cependant pour tout \(\,\mathcal{R}_0 > 1\) et pas seulement
pour \(\mathcal{R}_0\,\) proche de 1. De plus, notre preuve est rigoureuse.
Conclusion
On a trouvé que le pic de l'épidémie avait lieu à un temps \(T \sim (\ln
N)/(a-b)\) si N converge vers l'infini. Ce résultat semble nouveau malgré sa
simplicité. Dans la littérature scientifique, on n'a trouvé que des informations
sur la hauteur du pic, qui se détermine facilement grâce à l'intégrale première
du système. En effet, Avec \[S(T)=\frac{N\, b}{a},\quad \ln \frac{S(T)}{S(0)} =
-\frac{a}{bN} R(T),\quad N=S(T)+I(T)+R(T),\] on obtient
\[\frac{I(T)}{N}=1-\frac{b}{a}+\frac{b}{a} \ln \left (\frac{N}{N-1}\ \frac{b}{a}
\right ) \simeq 1-\frac{b}{a}+\frac{b}{a} \ln \frac{b}{a}\] (voir par exemple [1,
équation 7.26]). Dans certaines références comme [7, p. 238], il y a des
inversions où le temps t est une fonction des variables monotones R ou S, ce qui
conduit à des intégrales comme (1) à un changement de variable près. Mais le
système différentiel S-I-R y était écrit sous la forme \(\,dS/dt = - \alpha S
I\,\). L'idée n'était probablement pas venue de prendre \(\,\alpha = a/N\), ce
qui est d'une certaine manière plus réaliste et nécessaire pour que la limite
d'une grande population donne des résultats intéressants.
Pour une épidémie comme celle de coronavirus, le modèle S-I-R manque un peu
de réalisme. Cela conduit à considérer des modèles avec plus de compartiments,
par exemple avec un compartiment supplémentaire pour les personnes dans la phase
latente qui sont infectées mais pas encore contagieuses. Voir à ce sujet [5], qui
essaie aussi d'estimer les paramètres à partir de la courbe épidémique. L'étude
analytique du pic épidémique dans ce cadre-là est sans doute plus difficile.
Remerciements
On remercie Hisashi Inaba pour ses commentaires sur le texte.
Références bibliographiques
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4. N. Bacaër (2019) Sur la taille finale des épidémies dans un environnement
périodique. Comptes Rendus Biologies 342 (2019) 119-123.
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Cachan, 2012.
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Universitaires de France, Paris.
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References
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2. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01340008
3. https://doi.org/10.1016/j.crvi.2019.07.001
4. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02509142
Usage: http://www.kk-software.de/kklynxview/get/URL
e.g. http://www.kk-software.de/kklynxview/get/http://www.kk-software.de
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