Ergebnis für URL: http://www.ummisco.ird.fr/perso/bacaer/2006BMB.html Modélisation de l'épidémie de VIH/SIDA parmi les consommateurs de drogue et les
travailleuses du sexe à Kunming en Chine
Bull. Math. Biol. 68 (2006) 525-550
Nicolas Bacaër
Institut de recherche pour le développement
Bondy, France
nicolas.bacaer@ird.fr
Xamxinur Abdurahman
Département de mathématiques et sciences des systèmes
Université du Xinjiang, Urumqi, Chine
Jianli Ye
Centre pour la surveillance de la santé publique, CCDC, Pékin, Chine
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Résumé
Cet article présente un modèle mathématique de l'épidémie de VIH/SIDA à Kunming,
la capitale provinciale du Yunnan, en Chine. La population est divisée en
plusieurs groupes, avec des individus qui peuvent changer de groupe. On considère
deux modes de transmission du VIH: le partage des seringues entre utilisateurs de
drogue et la transmission sexuelle entre les travailleuses du sexe et leurs
clients. Le modèle inclut des utilisateurs de drogue qui sont aussi des clients
et des utilisatrices de drogue qui sont des travailleuses du sexe. Les groupes
sont scindés en deux sous-groupes, à risque ou protégé, suivant l'utilisation de
préservatifs et le partage de seringues. On formule un système d'équations aux
dérivées partielles pour décrire la propagation de la maladie. Pour les
simulations, on ajuste les paramètres autant que possible aux données disponibles
sur Kunming. On présente certaines propriétés mathématiques du modèle, en
particulier le seuil épidémique \(R_0\,\) qui détermine l'objectif des
interventions de santé publique. Quoique le modèle combine deux modes de
transmission du VIH, l'approximation suivante semble assez bonne : \(\,R_0\simeq
\max \{R_0^{\mathrm{drogue}},R_0^{\mathrm{sexe}}\}\,\), avec des formules
explicites pour \(R_0^{\mathrm{drogue}}\) et \(R_0^{\mathrm{sexe}}\). Les niveaux
critiques d'utilisation des seringues propres et des préservatifs, nécessaires
pour arrêter à la fois la transmission parmi les utilisateurs de drogue et la
transmission sexuelle, peuvent donc être déterminés indépendamment l'un de
l'autre.
1. Introduction
L'épidémie de VIH/SIDA s'est développée assez vite au cours des dernières
années en Chine. À la fin de l'année 2003, on estimait que le nombre cumulé de
personnes infectées par le VIH était d'environ 840000 [44]. À l'échelle
nationale, l'utilisation de drogue, la collecte de sang non sécurisée et la
transmission sexuelle étaient par ordre décroissant les principales voies de
transmission. Mais il y a des différences entre les provinces. Pour la
transmission du VIH entre utilisateurs de drogue, c'est la province du Yunnan qui
semble la plus touchée. Le Yunnan est proche du Myanmar, un pays producteur
d'héroïne. Certaines estimations suggèrent que 100000 personnes sont actuellement
infectées dans cette province [1]. L'épidémie parmi les utilisateurs de drogue se
propage vers d'autres groupes à risque tels que les travailleuses du sexe et
leurs clients, puisque certains utilisateurs de drogue sont aussi des clients ou
des travailleuses du sexe. Dans le présent article, on essaye de reproduire la
dynamique de l'épidémie à Kunming, la capitale provinciale du Yunnan. On
développe un modèle épidémique couplant la transmission du VIH par le partage de
seringues et par les rapports sexuels commerciaux.
La première étape a consisté à rassembler les données disponibles relatives à
l'épidémie de VIH/SIDA à Kunming. Voici ce que l'on a trouvé de plus utile:
* Pendant le second semestre de l'année 2001, des enquêtes comportementales ont
été menées dans plusieurs villes du Yunnan: Kunming, Qujing, Yuxi, Baoshan,
Dali et Chuxiong. Pour l'enquête sur les hommes adultes [21], on a posé des
questions à 388 hommes âgés entre 18 et 50 ans. Pendant les douze mois
précédents, 21,4% d'entre eux avaient été clients de travailleuses du sexe
[21, tableau 149]. Ces clients ont été en contact avec des travailleuses du
sexe en moyenne 2,4 fois par mois [tableau 174]; 46% n'ont pas toujours
utilisé des préservatifs [Table 181]; 0,9% de tous ces hommes ont déclaré
s'être injecté des stupéfiants [tableau 136]. Pour l'enquête sur les
travailleuses du sexe [22], on a posé des questions à 403 travailleuses du
sexe: chacune avait eu en moyenne 3 clients par semaine [tableau 78] et avait
travaillé ainsi en moyenne depuis 2,5 années [tableau 63]. 35% n'avaient pas
toujours utilisé des préservatifs pendant le mois précédent [tableau 84].
Aucune travailleuse du sexe n'a déclaré s'être injecté de la drogue [tableau
46]. Les travailleuses du sexe travaillant dans la rue ne représentaient que
6,6% du total, la plupart travaillant par ordre décroissant d'importance dans
les salons de beauté, les boîtes de nuit et les hôtels, les bars et les
karaokés, les saunas et les bains publics [tableau 178].
* Une autre étude [36] rapporte que parmi 505 travailleuses du sexe arrêtées
par la police à Kunming au début de l'année 2000, les 52 qui étaient
séropositives faisaient partie des 292 qui utilisaient de la drogue. De plus,
86% de ces travailleuses du sexe avaient au moins une infection sexuellement
transmissible.
* Le tableau 1 résume les données sur le VIH/SIDA à Kunming à partir de
différentes sources: nombre de nouveaux cas de VIH, nombre cumulé de cas
rapportés, prévalence du VIH parmi les utilisateurs de drogue, les
travailleuses du sexe et les clients. Des nombres différents pour la même
année et le même groupe correspondent à des échantillons différents. Pour
avoir une présentation homogène, tous les nombres ont été arrondis à 0,1%
près. [45] rapportent 13 cas de SIDA en 1999. [46] rapportent 17 décès liés
au SIDA jusqu'en 2002.
CAPTION: Tableau 1. Données sur le VIH à Kunming. Sources: \(^a\) [37], \(^b\)
[47], \(^c\) [29], \(^d\) [52], \(^e\) [51], \(^f\) [45], \(^g\) [46], \(^h\)
[50], \(^i\) [12].
année nouveaux cas total des cas prévalence chez les drogués (%) prévalence chez
les travailleuses du sexe (%) prévalence chez les clients (%)
1990 4\(^g\) 4\(^g\) 0,6\(^g\) 0\(^g\) 0\(^g\)
1991 5\(^g\) 9\(^g\) 0,1\(^g\) 0,1\(^g\) 0,1\(^g\)
1992 5\(^g\) 14\(^g\) 0\(^h\); 0,1\(^g\) 0,1\(^g\) 0,1\(^g\)
1993 6\(^g\) 20\(^g\) 0\(^h\); 0,2\(^g\) 0,1\(^g\) 0,1\(^g\)
1994 4\(^g\) 24\(^g\) 0\(^{a-g-h}\) 0\(^c\); 0,3\(^g\) 0,1\(^g\)
1995 24\(^g\) 48\(^g\) 0,7\(^{a-i}\); 0,8\(^h\); 1,4\(^g\) 0,3\(^g\);
0,5\(^{a-c}\); 0,7\(^i\) 0\(^c\); 0,2\(^i\)
1996 189\(^g\) 237\(^g\) 9,3\(^{a-h}\); 14,0\(^g\) 0,8\(^{a-g}\); 1,5\(^c\)
0\(^c\); 0,1\(^g\)
1997 26,7\(^g\); 27,5\(^h\) 1,5\(^c\); 1,9\(^g\) 0\(^c\); 1,6\(^g\)
1998 23,4\(^{b-h}\) 2,4\(^c\) 0,3\(^c\)
1999 384\(^f\) 1251\(^f\) 24,4\(^b\); 24,7\(^f\) 2,2\(^{b-c}\); 2,9\(^f\)
1,1\(^c\); 1,3\(^f\)
2000 2,9\(^c\)
2001 165\(^e\) 30,0\(^e\) 2,0\(^{c-e}\) 1,8\(^{c-e}\)
2002 1433\(^g\) 1,3\(^c\) 0,3\(^c\)
2003 226\(^d\) 18,6\(^d\) 2,5\(^{c-d}\) 0,8\(^{c-d}\)
* Des experts de l'Institut des drogues du Yunnan ont estimé en 2002 qu'il y
avait 7000 utilisateurs de drogue injectable à Kunming. Le nombre
d'utilisateurs enregistrés au Yunnan a baissé de 67000 en 1990 à 44245 en
2001, alors que dans l'ensemble de la Chine, ce nombre est passé de 70000 à
860000 [39].
* Le pourcentage des drogués qui partagent des seringues à Kunming a été estimé
à 20,4% en 1994 [49]. En 2003, 32% d'un échantillon de 150 drogués à Kunming
avaient réutilisé des seringues [27].
* La population de Kunming a augmenté constamment au cours de la dernière
décennie, comme indiqué dans le tableau 2 [35]. Les estimations jusqu'en 1998
sont basées sur le recensement de 1990. L'estimation pour 1999 est basée sur
le recensement de l'année 2000.
CAPTION: Tableau 2. Population de Kunming.
année 1993 1995 1998 1999 2000 2002
population (millions) 1,608 1,645 1,731 2,063 2,108 2,200
La seconde étape a consisté à développer un modèle mathématique de la
structure de la population et de la transmission du VIH à Kunming, avec deux
objectifs contradictoires :
* assez complexe pour pouvoir faire par simulation une reconstruction réaliste
de l'épidémie jusqu'au présent;
* assez simple pour pouvoir estimer la plupart des paramètres avec les données
et pouvoir étudier mathématiquement le seuil épidémique, qui permet de
comprendre l'objectif que doit se fixer la prévention.
Parmi les études similaires qui se sont focalisées sur les simulations,
quatre sont d'un intérêt particulier. Les deux premières [48, 7] ont essayé de
prédire le futur de l'épidémie au Yunnan. La troisième [32] a essayé la même
chose mais pour l'ensemble de la Chine. La quatrième [8] a utilisé un modèle avec
des données de différentes villes du sud-est asiatique telles que Jakarta. La
première étude utilise un modèle linéaire très simple, qui ne peut prédire que la
croissance exponentielle. La seconde utilise le logiciel EPP développé par
ONUSIDA pour simuler les épidémies à transmission sexuelle généralisée. Noter
cependant que l'épidémie dans le Yunnan est encore concentrée dans les groupes à
risque tels que les utilisateurs de drogue. La troisième étude utilise un modèle
plus sophistiqué, mais toujours sans partage des seringues, et l'applique avec
des données moyennes nationales.
Pour ces trois premières études, les niveaux géographiques auxquels ils
opèrent cachent de nombreuses hétérogénéités, soit entre les provinces de Chine
[44], soit même d'une ville à l'autre à l'intérieur de la même province. Au
Yunnan, la distance à la frontière du Myanmar et aux routes où passe le trafic de
drogue est un élément clé. C'est ce qui nous a conduit à ne considérer que la
ville de Kunming et non une zone plus large.
Notre étude est en plusieurs points plus proche de la quatrième étude [8],
bien que l'on considère moins de voies de transmission du VIH. En particulier, on
a gardé l'idée que dans les modèles de population avec plusieurs groupes, les
individus doivent pouvoir changer de groupe. Par exemple, les travailleuses du
sexe travaillent souvent pour une période de temps bien plus courte que la
période moyenne d'incubation du SIDA. Il faut d'ailleurs mentionner le débat
autour de toutes ces simulations, notamment au sujet de leur capacité prédictive
[43, 14, 16, 34]. Un autre inconvénient de ces simulations est qu'elles donnent
souvent peu d'indication sur le seuil épidémique et sur le comportement à long
terme du modèle, le type d'information nécessaire pour fixer des objectifs de
santé publique.
Parmi les études mathématiques, on a restreint notre attention à celles avec
les caractéritiques suivantes, proches de [28] :
* Les individus peuvent traverser trois états: S (sain), I (séropositif mais
sans SIDA) et R (SIDA). Plus exactement, on suppose que ceux dans l'état R
n'ont pas de contact infectieux avec les autres.
* L'état I est structuré par le temps écoulé depuis l'infection par le VIH; la
période d'incubation du VIH au SIDA est donnée par une loi de probabilité.
* La structure par âge n'apparaît pas explicitement dans le modèle. Les
personnes saines sont recrutées à un certain taux. Les individus quittent la
population par mort « naturelle », par la mortalité due au SIDA ou par un
flux constant de « vieillissement ».
* La transmission du VIH se produit par des contacts au hasard. On ne tient pas
compte de la formation de couples.
Avec ces restrictions, les modèles mathématiques peuvent être classés suivant le
nombre de groupes homogènes dans la population: un [4, 10, 40, 41], deux [25, 26]
ou n [20, 11, 24, 38]. Le modèle de notre article présente n groupes avec n=18
pour l'application à Kunming. Comparé aux travaux que l'on vient de citer, il y a
deux raffinements: l'inclusion de deux voies de transmission du VIH (le partage
des seringues entre utilisateurs de drogue et la transmission sexuelle entre
travailleuses du sexe et clients) et la possibilité pour les individus de changer
de groupe comme dans les simulations de [8]. Il y a d'ailleurs une certaine
analogie formelle entre une population dans une ville divisée en plusieurs
groupes différents, avec certaines personnes qui changent de groupe au cours de
leur vie, et une population distribuée sur plusieurs villes avec des migrations
entre les villes. Pour les contacts, on a utilisé le « mélange proportionnel »
pour le partage des seringues et une variante hétérosexuelle du mélange
proportionnel pour les relations entre travailleuses du sexe et clients. On
suppose que la demande des clients détermine le niveau d'activité des
travailleuses du sexe.
Dans notre article, on n'étudie pas les propriétés mathématiques du modèle
aussi précisément que dans certains travaux cités ci-dessus; on limite notre
attention à la reproductivité et à quelques autres propriétés élémentaires. On
accorde cependant plus d'attention à l'estimation des paramètres à partir des
données. En résumé, comparé à l'un des modèles les plus utilisés pour les
épidemies de VIH/SIDA concentrées dans les groupes à risque en Asie, le modèle de
[8], notre modèle présente l'avantage de conduire à une expression pour la
reproductivité tout en gardant un certain réalisme.
Dans le § 2, on introduit le modèle mathématique pour un nombre arbitraire de
groupes et avec des paramètres qui peuvent dépendre du temps. Le § 3 discute de
certaines propriétés mathématiques du modèle lorsque les paramètres ne dépendent
pas du temps, ou de manière plus réaliste lorsque les paramètres se stabilisent
après un certain temps (c'est bien sûr une abstraction mathématique puisqu'on ne
ne peut guère dire que la société chinoise est à l'équilibre de nos jours, même
dans une province périphérique telle que le Yunnan). On montre que la
reproductivité, qui détermine les objectifs des interventions de santé publique,
est telle que \(\,R_0\geq \max \{R_0^{\mathrm{drogue}},\,
R_0^{\mathrm{sexe}}\}\). \(\,R_0^{\mathrm{drogue}}\) et \(R_0^{\mathrm{sexe}}\,\)
sont les reproductivités facilement calculables associées au partage des
seringues et à la transmission sexuelle. Ces reproductivités sont données par le
rayon spectral de matrices de rang 1 ou 2. Le § 4 spécialise le modèle au cas de
dix-huit groupes et discute des matrices de contact et de changement de groupe.
Le § 5 calcule les reproductivités \(\,R_0^{\mathrm{drogue}}\) et
\(R_0^{\mathrm{sexe}}\,\) pour ce modèle particulier. Enfin le § 6 estime les
paramètres avec les données disponibles pour Kunming et montre une simulation de
l'année 1994 jusqu'à la fin de 2004. La conclusion analyse numériquement la
dépendance de la reproductivité par rapport au pourcentage d'utilisation de
préservatifs et au taux de partage des seringues pour les utilisateurs de drogue.
L'approximation suivante semble assez bonne \[R_0\simeq \max
\{R_0^{\mathrm{drogue}},\, R_0^{\mathrm{sexe}}\}.\] Les niveaux critiques
d'utilisation des seringues propres et des préservatifs, nécessaires pour arrêter
à la fois la transmission parmi les utilisateurs de drogue et la transmission
sexuelle, peuvent ainsi être déterminés indépendamment.
2. Le modèle
On définit
* n : nombre de groupes dans la population.
* \(S_i(t)\) : nombre de personnes saines dans le groupe i au temps t.
* \(I_i(t,x)\) : densité de personnes dans le groupe i au temps t, qui ont été
infectées depuis x années par le VIH, mais sans SIDA. \[I_i(t)=\int_0^\infty
I_i(t,x)\, dx\,\] est le nombre de ces personnes dans le groupe i au temps t.
* \(R_i(t)\) : nombre de personnes avec le SIDA au temps t dans le groupe
\(\,i\,\) juste avant de développer les symptômes cliniques du SIDA.
* \(N_i(t)=S_i(t)+I_i(t)\) : population active dans le groupe i au temps t.
* \(\Lambda_i(t)\) : flux entrant de nouvelles personnes saines dans le groupe
i au temps t.
* \(\mathbb{A}(t)\) : matrice carrée de taille n, qui dépend du temps,
\[\mathbb{A}_{i,j}(t)=\left \{\begin{array}{lll} -\alpha_{i\gets j}(t) &
&\forall i\neq j\,,\\ \alpha_i+\sum_{k\neq i} \alpha_{k\gets i}(t) &&i=j\,.
\end{array}\right.\] \(\alpha_{k} > 0\,\) est le taux auquel les individus du
groupe k meurent pour des raisons autres que le SIDA ou quittent la
population à cause du vieillissement. \(\,\alpha_{i\gets j}(t)\geq 0\,\)
représente le taux auquel les individus du groupe j passent dans le groupe i
(i!=j).
* \(\mathbb{B}^{\mathrm{sexe}}(t,N)\) : matrice carrée de taille n avec
\begin{eqnarray} \mathbb{B}^{\mathrm{sexe}}_{ij}(t,N_1,\ldots,N_n)\, N_j &=&
A_i(t)\,\frac{a_j(t)\, N_j}{\sum_k a_k(t)\, N_k}\, [1-c_{ij}(t)] \, \pi_2(t)
\nonumber\\ &&+ a_i(t)\, \frac{A_j(t)\, N_j}{\sum_k a_k(t)\, N_k} \,
[1-c_{ji}(t)]\, \pi_1(t) \tag{1} \end{eqnarray}
+ \(A_k(t)\) est le taux auquel les individus du groupe k payent pour des
contacts sexuels. \(\,A_k=0\) pour tous les groupes féminins.
+ \(a_k(t)\,\) est le taux auquel les individus du groupe k vendent un
contact sexuel. \(\,a_k=0\) pour tous les groupes masculins.
+ \(c_{ij}(t)\,\) est la probabilité qu'un préservatif soit utilisé
pendant un rapport sexuel entre un individu du groupe i et un individu
du groupe j.
+ \(\pi_1(t)\) et \(\pi_2(t)\) sont les probabilités de transmission du
VIH de l'homme à la femme et de la femme à l'homme, respectivement, par
contact sexuel si aucun préservatif n'est utilisé;
* \(\mathbb{B}^{\mathrm{drogue}}(t,N)\) : matrice carrée de taille n avec
\begin{equation} \mathbb{B}^{\mathrm{drogue}}_{ij}(t,N_1,\ldots,N_n)\, N_j
=B_i(t)\, \frac{B_j(t)\, N_j}{\sum_k B_k(t)\, N_k}\, \pi(t)\, .
\end{equation} \(B_k(t)\,\) est de taux de partage des seringues (par mois)
des individus du groupe k, et \(\,\pi(t)\) est la probabilité de transmission
du VIH à chaque partage de seringue.
* \(\mathbb{B}(t,N)=\mathbb{B}^{\mathrm{sexe}}(t,N)+\mathbb{B}^{\mathrm{drogue}
}(t,N)\).
* \(\gamma(t,x)\) : taux auquel les personnes infectées par le VIH depuis x
années développent le SIDA;
* \(\delta(t)\) : mortalité des personnes atteintes du SIDA.
Le modèle est \begin{eqnarray} && \frac{dS}{dt} = \Lambda(t) - \mathbb{A}(t)\,
S(t) - S(t) \odot \bigl [\mathbb{B}(t,N(t))\, I(t)\bigr ]\,,\tag{2}\\ &&
\frac{\partial I}{\partial t}+\frac{\partial I}{\partial x} = -\mathbb{A}(t)\,
I(t,x) - \gamma(t,x)\, I(t,x)\,,\tag{3}\\ &&I(t,0)=S(t) \odot \bigl
[\mathbb{B}(t,N(t))\, I(t)\bigr ] .\tag{4} \end{eqnarray} Dans ces équations,
\(\odot\) désigne le produit des vecteurs colonnes: \((u_i) \odot (v_i) = (u_i
v_i)\). Par ailleurs, \[ \frac{d R}{d t} = \int_0^\infty \gamma(t,x)\, I(t,x)\,
dx - \delta(t)\, R(t)\,. \] Voici quelques remarques sur la forme de
\(\mathbb{B}(t,N)\). Le terme représentant le partage de seringues suit le «
mélange proportionnel » standard. Ceci ignore la formation de lieux de
consommation ou de groupes d'amitiés où les seringues seraient partagées. Des
modèles théoriques avec ce niveau de détail ont déjà été développés [19,9].
Cependant, aucune donnée n'est disponible concernant de tels lieux à Kunming ou
dans d'autres villes du Yunnan. On trouve seulement des estimations du nombre
total de drogués, du pourcentage de ces drogués qui partagent des seringues et de
la prévalence du VIH chez les drogués. Donc le mélange proportionnel avec une
hypothèse d'homogénéité (voir le § 4) évite d'introduire trop de paramètres
inconnus dans le modèle.
Pour les termes qui représentent la transmission hétérosexuelle, considérons
un homme sain du groupe i. Supposons que le mélange soit proportionnel. La
probabilité de rencontrer une travailleuse du sexe du groupe j est \(\,a_j\, N_j
/ \sum_k a_k\, N_k\). Dans ce cas, la probabilité de ne pas utiliser de
préservatif est \(1-c_{ij}\). La probabilité que la femme soit déjà infectée est
\(\,I_j/N_j\). La probabilité que la transmission du VIH ait lieu de la femme
vers l'homme est \(\,\pi_2\). Donc la probabilité d'infection sexuelle par unité
de temps d'un homme sain du groupe i est le produit de tous ces facteurs, comme
dans (1) et (2).
Considérons maintenant une femme saine du groupe i. Cela peut être une
travailleuse du sexe ou une femme droguée se prostituant à l'occasion pour
s'acheter de la drogue. Avec un mélange proportionnel, le nombre de clients
qu'elle aura par jour est le quotient de la demande des hommes et de l'offre des
travailleuses du sexe \[\frac{\sum_k A_k\, N_k}{\sum_k a_k\, N_k}\, .\] La
probabilité qu'un client appartienne au groupe j est \(\,A_j\, N_j / \sum_k A_k\,
N_k\). Dans ce cas, la probabilité de ne pas utiliser de préservatif est
\(\,1-c_{ji}\). La probabilité que le client soit déjà infecté est \(\,I_j/N_j\).
La probabilité pour que la transmission du HIV se fasse de l'homme vers la femme
est \(\pi_1\). Donc la probabilité d'infection sexuelle par unité de temps d'une
femme saine du groupe i est le produit de tous ces facteurs, comme dans (1) et
(2).
On a supposé que tous les parameters dépendent a priori du temps pour
refléter de possibles changements de comportements ou un accès accru aux
médicaments antirétroviraux. \(\pi_1\) et \(\pi_2\,\) peuvent aussi dépendre du
temps si l'on veut prendre en compte l'augmentation d'autres infections
sexuellement transmissibles, qui favorisent la transmission du VIH. La dépendance
temporelle de p peut refléter par exemple un accroissement de l'usage de
seringues propres parmi les utilisateurs de drogue.
3. Propriétés mathématiques du modèle
Considérons le modèle de la section 2, mais avec des paramètres indépendants
du temps. Introduisons du vocabulaire qui simplifiera les énoncés. Considérons
les n groupes comme les nooeuds d'un graphe mathématique avec deux types
d'arêtes:
* les groupes i et j sont liés par une « arête d'infection » (\(i\Leftarrow
j\)) si \(\mathbb{B}_{ij}(N_1,\ldots,N_n) > 0\) quand tous les \(N_k\,\) sont
>0, autrement dit, si les individus du groupe i peuvent être infectés par les
individus du groupe j (i=j est possible). Dans la suite, on suppose toujours
que \(\,i\Leftarrow j\) si et seulement si \(j\Leftarrow i\).
* les groupes i et j (i!=j) sont liés par une « arête de migration » (\(i\gets
j\)) si \(\alpha_{i\gets j} > 0\,\), autrement dit, si les individus du
groupe j peuvent migrer vers le groupe i.
On dit que le groupe i est un groupe essentiel s'il appartient à au moins une
arête d'infection. Cette définition est adaptée au modèle présent et ne coïncide
pas avec d'autres définitions que l'on trouve dans la littérature scientifique
(comme [17, p.165] le mentionne, il n'y a pas de définition standard de groupe
essentiel, donc on se sent libre de l'utiliser dans notre contexte). On dit que
le groupe i est une source, respectivement un puits, si ce n'est pas un groupe
essentiel et s'il existe un groupe essentiel j et un chemin d'arêtes de migration
dans le graphe mathématique de i vers j, respectivement de j vers i. On dit que
l'ensemble des groupes essentiels est connexe s'il est non vide et si pour tous
les groupes essentiels i et j, il existe un chemin d'arêtes (d'infection et/ou de
migration) de i vers j. On suppose désormais que
\((H_1)\,\) \(\, \forall i=1\ldots n\), \(\Lambda_i > 0\) ou il existe un
chemin d'arêtes de migration \((j_0,\ldots,j_{p})\) avec \(\Lambda_{j_0} > 0\)
et \(j_p=i\).
Techniquement, la seconde partie peut s'écrire: \[\exists \, p\geq 1, \quad
\exists (j_0,\ldots,j_{p}), \quad \forall q=1\ldots p, \,\alpha_{j_q\gets
j_{q-1}} > 0, \quad \Lambda_{j_0} > 0,\quad j_p=i.\] L'hypothèse (\(H_1\))
signifie simplement que les individus du groupe i « viennent de quelque part »:
soit ils sont entrés dans la population directement dans le groupe i, ou ils sont
entrés dans un groupe \(\,j_0\) et sont passés par les groupes
\(j_1,\ldots,j_{p-1}\) avant d'atteindre le groupe \(j_p=i\).
Proposition 1 L'équilibre sans maladie est donné par \(S^0=\mathbb{A}^{-1}
\Lambda\) et \(I^0=0\). De plus, on a \(\,S^0_i > 0\,\forall i=1\ldots n\).
Preuve. Noter tout d'abord que la matrice \(\,\mathbb{A}\,\) est à diagonale
strictement dominante avec des éléments hors diagonale positifs ou nuls. Donc
elle est inversible et son inverse est une matrice à coefficients >=0 [6]. Avec
\(\,\Lambda\geq 0\) (c'est-à-dire \(\Lambda_i\geq 0\,\forall i\)), on a
\(\,S^0=\mathbb{A}^{-1} \Lambda\geq 0\). On choisit i et \((j_0,\ldots,j_{p-1})\)
comme dans l'hypothèse (\(H_1\)). L'équation (2) avec \(\,I=0\) conduit à
\[0=\Lambda_k - \Bigl (\alpha_k+\sum_{j\neq k} \alpha_{j\gets k} \Bigr )\, S^0_k
+ \sum_{j\neq k} \alpha_{k\gets j}\, S^0_j, \quad \forall \, k=1\ldots n .\] On
suppose par l'absurde \(\,S_i^0=0\). Avec l'équation ci-dessus où k=i, on obtient
\(\Lambda_i=0\) et \(S^0_{j_{p-1}}=0\). Par itération, on prend
\(k=j_{p-1},\ldots ,k=j_0\), on arrive finalement à \(\Lambda_{j_0}=0\) et
\(S^0_{j_0}=0\). Ceci contredit \(\,\Lambda_{j_0} > 0\).
Avant de présenter la conjecture principale concernant les états d'équilibre,
étudions la stabilité de l'équilibre sans maladie. On définit \(\,S=S^0 + s\) et
\(I=i\). Linéarisons les équations (3)-(4). On obtient \[ \frac{\partial
i}{\partial t}+\frac{\partial i}{\partial x} = -\mathbb{A}\, i(t,x) -\gamma(x)\,
i(t,x)\, ,\quad i(t,0)\simeq \mathrm{diag}(S^0)\, \mathbb{B}(S^0) \int_0^\infty
i(t,x)\, dx. \] \(\mathrm{diag}(S^0)\) est la matrice diagonale construite avec
les éléments du vecteur \(S^0\). Pour un tel système (voir par exemple [5]), on
sait que la stabilité dépend du rayon spectral \(R_0\) de la matrice
\begin{equation} \Omega=\mathrm{diag}(S^0)\,\mathbb{B}(S^0) \int_0^\infty
e^{-\mathbb{A} t}\, e^{- \int_0^t \gamma(x)\, dx}\, dt \tag{5} \end{equation}
selon que \(R_0 < 1\) ou \(R_0 > 1\). Cela s'interprète de la façon suivante.
\(P_{ij}(t)\,\) est la probabilité pour un individu d'être dans le groupe i au
temps t sachant qu'il a été infecté au temps t=0 et qu'il appartenait alors au
groupe j. La matrice \(\,P(t)\) est la solution de \begin{equation}\tag{6}
\frac{dP}{dt} = -\mathbb{A}\, P(t) - \gamma(t)\, P(t)\, ,\quad P(0)=\mathbf{1}\,
. \end{equation} \(\mathbf{1}\,\) est la matrice identité de taille n. Noter que
\[P(t)=e^{-\mathbb{A}t} \, e^{-\int_0^t \gamma(x)\, dx}.\] On définit
\(\,T_{ij}\,\) l'espérance du temps qu'un porteur du VIH passera dans le groupe i
sachant qu'il appartenait au groupe j au moment de l'infection. On a alors
\[T=\int_0^\infty P(t)\, dt.\] On voit donc que \[\Omega_{ij}=S_i^0 \sum_{k=1}^n
\mathbb{B}_{ik}(S^0)\, T_{kj}.\] Mais \(\,S_i^0\, \mathbb{B}_{ik}(S^0)\,\) est le
nombre d'individus dans le groupe i infectés par unité de temps par un individu
infecté dans le groupe k juste après son introduction dans la population sans
maladie à l'équilibre. \(\,\Omega_{ij}\,\) est donc l'espérance du nombre
d'individus dans le groupe i au moment de l'infection qu'un individu qui
appartenait au groupe j au moment de l'infection infectera au cours de sa vie, en
supposant que la population reste proche de son état d'équilibre sans maladie.
Autrement dit, W* est la « matrice de prochaine génération » de [17, p.74].
Présentons maintenant une conjecture inspirée du travail de [38] pour le cas
particulier d'une matrice diagonale \(\mathbb{A}\). La preuve présentée dans
cette référence peut sans doute être généralisée au cadre présent, mais un
travail supplémentaire est nécessaire pour le vérifier. Dans tout ce qui suit, on
suppose que l'ensemble des groupes essentiels est connexe.
Conjecture. Si le rayon spectral de la matrice W* est tel que \(R_0 < 1\),
alors l'état d'équilibre sans maladie \((S^0,I^0)\,\) est le seul état
d'équilibre et c'est un attracteur global. Il y a deux états d'équilibre si
\(\,R_0 > 1\,\): l'état d'équilibre sans maladie et un équilibre endémique
\((S^*,I^*)\) avec \(I^*\neq 0\). Dans ce deuxième cas, l'état d'équilibre
endémique est un attracteur global pour toute condition initiale avec \(\,I_k\neq
0\,\) pour au moins un groupe k qui est une source ou un groupe essentiel. L'état
d'équilibre sans maladie reste un attracteur pour toutes les autres conditions
initiales.
Les propositions suivantes donnent quelques informations sur l'état
d'équilibre endémique:
Proposition 2. Pour l'état d'équilibre endémique \(\,(S^*,I^*)\), on a
\[I^*(x)=e^{-\mathbb{A} x}\,e^{- \int_0^x \gamma(t)\, dt}\, I^*(0).\] Les
vecteurs \(S^*\) et \(I^*(0)\) sont des solutions \(\geq 0\) et \(\neq 0\) du
système \begin{eqnarray} S^*&=&\mathbb{A}^{-1}(\Lambda-I^*(0))\, ,\tag{7}\\
I^*(0)&=&S^* \odot \Biggl [\mathbb{B}(N^*) \int_0^\infty e^{-\mathbb{A} t}\, e^{-
\int_0^t \gamma(x)\, dx}\, dt \,I^*(0)\Biggr ]\, ,\tag{8} \end{eqnarray} avec
\(N^*=S^*+\int_0^\infty I^*(x)\, dx\).
Ces équations s'obtiennent par simple intégration et substitution dans le
système (2)-(3)-(4). Démontrer l'existence et l'unicité de l'état d'équilibre
endémique dans cette conjecture équivaut à démontrer l'existence et l'unicité
d'une solution \(\,(S^*,I^*(0))\) >=0 et !=0 du système (7)-(8).
Proposition 3. \(\forall \, i=1,\ldots,n,\quad S_i^* > 0\).
Preuve. On choisit i et \(\,(j_0,\ldots,j_{p-1})\) comme dans l'hypothèse
(\(H_1\)). On a \(\, \forall\, k=1,\ldots,n\), \begin{eqnarray} &&0=\Lambda_k -
\Bigl (\alpha_k+\sum_{j\neq k} \alpha_{j\gets k} \Bigr )\, S_k^* + \sum_{j\neq k}
\alpha_{k\gets j}\, S_j^* - I_k^*(0)\, ,\tag{9}\\ &&I_k^*(0)=S_k^* \sum_j
\mathbb{B}_{kj}(N^*) \int_0^\infty I_j^*(x)\, dx\, .\tag{10} \end{eqnarray} On
suppose par l'absurde \(\,S_i^*=0\). Avec (10) où k=i, on a \(I_i^*(0)=0\). Avec
(9) où k=i, on obtient \(\Lambda_i=0\) et \(S^*_{j_{p-1}}=0\). Par itération, en
prenant successivement \(k=j_{p-1},\ldots, k=j_0\), on arrive finalement à
\(\Lambda_{j_0}=0\) et \(S_{j_0}=0\). Ceci contredit \(\Lambda_{j_0} > 0\).
Proposition 4 Si le groupe i est un groupe essentiel, alors \(\,I^*_i(x) >
0\,\) pour tout x. Si le groupe i est un groupe puits, alors \(\,I^*_i\neq 0\)
mais \(I^*_i(0)=0\). Si le groupe i est ni un groupe essentiel ni un puits, alors
\(I^*_i(x)= 0\,\) pour tout x.
Preuve. Si le groupe i n'est pas un groupe essentiel, alors
\(B_{ij}(N^*)=0\,\) pour tout j. On a donc \(\,I^*_i(0)=0\,\) à cause de (10)
avec \(k=i\). On a \[I^*(x)=e^{-\mathbb{A}\, x}\, e^{-\int_0^x \gamma(t)\, dt}\,
I^*(0)\] et \(I^*\neq 0\). Donc il existe un groupe essentiel j avec \(\,I^*_j(0)
> 0\). Pour un autre groupe essentiel i, considérons différentes situations:
* dans le cas \(i \Leftarrow j\), on a \(B_{ij}(N^*) > 0\). Il résulte de (10)
avec k=i que \(\,I^*_i(0) > 0\).
* dans le cas \(i \gets j\), on a \(\alpha_{i\gets j} > 0\). Par conséquent,
\[I^*_i(x)=\sum_k [e^{-\mathbb{A}\, x}\, e^{-\int_0^x \gamma(t)\, dt}]_{ik}\,
I^*_k(0) \geq [e^{-\mathbb{A}\, x}\, e^{-\int_0^x \gamma(t)\, dt}]_{ij}\,
I^*_j(0) > 0\quad \forall x > 0\] parce que \( [e^{-\mathbb{A}\, x}\,
e^{-\int_0^x \gamma(t)\, dt}]_{ij}\,\) est la probabilité pour un individu
d'être infecté et dans le groupe i au temps x, sachant qu'il était dans le
groupe j au moment de l'infection. Mais le groupe i est un groupe essentiel.
Donc il existe h avec \(\,h\Leftarrow i\). On utilise (10) avec h au lieu de
k et i au lieu de j : on a \(\,I^*_h(0) > 0\). Finalement, on a aussi
\(\,i\Leftarrow h\), donc \(I^*_i(0) > 0\,\) résulte de (10). Autrement dit,
certaines personnes dans le groupe j passent dans le groupe i, des personnes
dans le groupe i infectent des personnes dans le groupe het finalement des
personnes dans le groupe hinfectent des personnes dans le groupe i.
* En général, puisque les groupes essentiels sont reliés, il existe un chemin
d'arêtes (d'infection ou de migration) \(i_1,\ldots,i_p\) avec \(i_1=i\) et
\(i_p=j\). Avec les deux cas précédents, on obtient \(\,I_i^*(0) > 0\).
On définit \[\varepsilon_i(x)=\alpha_i+\sum_{j\neq i} \alpha_{j\gets
i}+\gamma(x).\] Alors (3) devient \[\frac{dI_i^*}{dx} = -\varepsilon_i(x)\,
I_i^*(x) + \sum_{j\neq i} \alpha_{i\gets j}\, I_j^*(x).\] Avec \(I^*_i(0) > 0\),
on a \begin{equation} I^*_i(x)=e^{-\int_0^x \varepsilon_i(t)\, dt}\, I_i^*(0) +
\sum_{j\neq i} \alpha_{i\gets j} \int_0^x e^{-\int_\xi^x \varepsilon_i(t)\, dt}\,
I_j^*(\xi)\, d\xi\, > 0\, .\tag{11} \end{equation} On a ainsi \(I^*_i(x) > 0\,\)
pour tout x pour tout groupe essentiel i.
Considérons un groupe i qui est un puits. Il y a un groupe essentiel j et un
chemin d'arêtes de migration \(i_1,\ldots,i_p\) avec \(i_1=i\) et \(i_p=j\). On
utilise (11) avec i remplacé successivement par \(i_{p-1},\ldots,i_1\) et
\(I^*_j(x) > 0\,\) pour tout x. On obtient \(\,I_i^*\neq 0\).
On suppose maintenant que les numéros des groupes sont ordonnés
* les groupes \(1,\ldots,N_c\) sont les groupes essentiels,
* les groupes \(N_c+1,\ldots,N_c+N_s\) sont les puits,
* les groupes \(N_c+N_s+1,\ldots,n\,\) sont les autres groupes.
\(\mathbb{A}\,\) est alors une matrice triangulaire supérieure avec un bloc de
zéros de la ligne \(N_c+N_s+1\,\) jusqu'à la ligne n et de la colonne 1 jusqu'à
la colonne \(\,N_c+N_s\). La matrice \(e^{-\mathbb{A}\, x}\,\) a la même forme
triangulaire supérieure. On a \[I^*(x)=e^{-\mathbb{A}\, x}\, e^{-\int_0^x
\gamma(t)\, dt}\, I^*(0).\] On obtient \(I^*_i(x)=0\) pour tout \(i >
N_c+N_s\,\), c'est-à-dire pour tous les groupes qui ne sont ni des groupes
essentiels ni des puits.
Proposition 5 On définit
\[\Omega^{\mathrm{drogue}}=\mathrm{diag}(S^0)\,\mathbb{B}^{\mathrm{drogue}}(S^0)
\int_0^\infty e^{-\mathbb{A} t}\, e^{- \int_0^t \gamma(x)\, dx}\, dt\] et
\[\Omega^{\mathrm{sexe}}=\mathrm{diag}(S^0)\,\mathbb{B}^{\mathrm{sexe}}(S^0)
\int_0^\infty e^{-\mathbb{A} t}\, e^{- \int_0^t \gamma(x)\, dx}\, dt.\]
\(R_0^{\mathrm{drogue}}\) est le rayon spectral de la matrice
\(\Omega^{\mathrm{drogue}}\). \(R_0^{\mathrm{sexe}}\) est le rayon spectral de la
matrice \(\Omega^{\mathrm{sexe}}\). On a alors \[R_0\geq \max
\{R_0^{\mathrm{drogue}}, R_0^{\mathrm{sexe}}\}.\]
Preuve. Rappelons que si deux matrices \(\,M\) et \(M'\) à coefficients >=0
sont telles que \(M\leq M'\), c'est-à-dire \(M_{ij}\leq M_{ij}'\,\) pour tout i
et j, alors les rayons spectraux sont tels que \(\,R_0(M)\leq R_0(M')\) [23, §
8.1.18]. \(\,e^{-\mathbb{A} x}\,\) est une matrice à coefficients >=0.
\(\Omega^{\mathrm{drogue}}\) et \(\Omega^{\mathrm{sexe}}\,\) sont donc aussi des
matrices à coefficients >=0. Avec
\(\,\Omega=\Omega^{\mathrm{sexe}}+\Omega^{\mathrm{drogue}}\), on a \(\Omega \geq
\Omega^{\mathrm{sexe}}\) et \(\Omega \geq \Omega^{\mathrm{drogue}}\,\), d'où la
conclusion.
4. Un exemple spécifique avec 18 groupes
Retournons au modèle avec des paramètres qui peuvent dépendre du temps. On a
déjà en tête la situation de Kunming et le type de données disponibles pour faire
quelques simplifications. La population considérée comprend des hommes et des
femmes entre 18 et 50 ans. On appelle \(1/32\) année\(^{-1}\) le taux de
vieillissement de la population (\(32=50-18\)). Supposons que cette population
soit divisée en dix-huit groupes, avec neuf groupes d'hommes (figure 1) et neuf
groupes de femmes (figure 2). Les travailleuses du sexe et les clients sont à
risque s'ils n'utilisent pas toujours des préservatifs, et en sécurié s'ils
utilisent toujours des préservatifs. De même, les drogués sont à risque s'ils
réutilisent parfois des seringues, et en sécurité s'ils ne font jamais cela.
[2006BMBFig1.png] Figure 1. Compartiments du modèle pour la population masculine.
Considérons le diagrammes pour les hommes (figure 1). On définit
* \(\lambda\) : flux d'entrée de jeunes hommes dans la population.
* \(\alpha\) : somme de la mortalité et du taux de vieillissement des hommes
qui ne sont pas drogués.
* \(\tau\) : taux auquel les hommes deviennent clients.
* q : probabilité qu'un nouveau client soit à risque; \(\,q'=1-q\).
* \(\sigma\) : taux auquel les hommes deviennent drogués.
* p : probabilité pour que les nouveaux drogués soient à risque; \(\,p'=1-p\).
* \(\overline{\alpha}\) : somme de la mortalité et du taux de vieillissement
pour les hommes drogués.
Tous ces paramètres peuvent dépendre du temps t. On suppose que les hommes qui
sont devenus clients continuent à visiter des travailleuses du sexe jusqu'à ce
qu'ils quittent la population en consideration à cause du vieillissement. D'après
le tableau 173 du rapport de [21],
* 25,6% des hommes âgés de 18 à 30 ans avaient eu un contact sexuel avec une
travailleuse du sexe pendant les 12 derniers mois,
* 25,2% des hommes âgés de 30 à 34 ans,
* 20,2% des hommes âgés de 35 à 39 ans,
* 19,1% des hommes âgés de 40 à 44 ans,
* 8,8% des hommes âgés de 45 à 50 ans.
Contrairement à certains pays d'Asie du sud-est, il n'y a pas de pic de relations
sexuelles commerciales dans le groupe le plus jeune. Il semblerait que le fait
d'être un client soit plus une question de revenu. Un modèle plus réaliste
pourrait permettre aux clients de cesser leurs visites aux travailleuses du sexe,
mais les données dont on dispose pour le Yunnan ne sont pas réellement
suffisantes pour comprendre l'alternance des périodes d'activité et d'inactivité
relatives aux relations sexuelles commerciales. Le modèle suppose en plus que les
clients restent à risque ou sûrs, autrement dit la promotion des préservatifs
n'affecte que les nouveaux clients.
On suppose aussi que les drogués continuent à s'injecter de la drogue toute
leur vie et qu'ils restent à risque ou sûrs. Cette simplification néglige
l'impact des centres de désintoxication volontaires, des centres de
réhabilitation obligatoires, des centres de rééducation par le travail et des
programmes pilotes de réduction des risques pour la période de temps où l'on
utilise le modèle dans le paragraphe 6, c'est-à-dire de 1994 à 2004. En effet, un
tel centre de réhabilitation a été créé à Kunming en 1989, mais une enquête a
montré que 80% des drogués qui y sont passés récidivaient avant deux années [31].
Avec des résultats légèrement meilleurs, un centre pilote de désintoxication
volontaire, qui a sept cliniques dans Kunming [39], a offert un traitement à base
de méthadone depuis 1996 pour les drogués qui pouvaient se le payer mais avec un
taux de récidive de 70% [15]. Ces taux élevés, qui justifient d'une certaine
manière notre modèle simplifié, sont peut-être dûs à la proximité des zones de
production de l'héroïne, notamment le Myanmar qui amène de l'héroïne
particulièrement pure à Kunming. Ceci cause une addiction plus forte et plus
durable [31].
Considérons maintenant le diagramme pour les femmes (figure 2). On définit
* \(\lambda\) : flux en entrée de jeunes femmes (égal au flux en entrée de
jeunes hommes).
* \(\varepsilon\) : probabilité pour qu'une jeune femme devienne travailleuse
du sexe; \(\varepsilon'=1-\varepsilon\).
* r : probabilité pour qu'une nouvelle travailleuse du sexe soit à risque;
\(r'=1-r\).
* \(\mu\) : taux auquel les travailleuses du sexe qui ne sont pas droguées
arrêtent leur travail.
* \(\kappa\) : taux auquel les femmes droguées deviennent des travailleuses du
sexe.
* \(\widehat{\sigma}\) : taux auquel les femmes deviennent droguées.
* \(\alpha\) : somme de la mortalité et du taux de vieillissement des femmes
qui ne sont pas droguées (identique aux hommes).
* \(\overline{\alpha}\) : somme de la mortalité et du taux de vieillissement
des femmes droguées (identique aux hommes drogués).
La division de la population féminine reflète quelque peu sa structure par âge:
les jeunes femmes peuvent entrer directement dans le groupe des travailleuses du
sexe. [22, Tableau 1] rapporte un âge moyen de 22,3 années pour les travailleuses
du sexe. Il y a aussi une légère différence dans la direction des flèches comparé
à la figure 1 : les travailleuses du sexe qui ne sont pas droguées peuvent
arrêter ce travail. On suppose cependant que les travailleuses du sexe qui sont
droguées n'arrêtent pas leur travail car elles doivent payer pour leur addiction.
[2006BMBFig2.png] Figure 2. Compartiments du modèle pour la population féminine.
Ce modèle ne tient pas compte de la transmission du VIH par la collecte non
sécurisée de sang, par les relations sexuelles non commerciales, par la mère à
l'enfant et par les homosexuels. Il est centré autour du point où le VIH commence
à se propager des utilisateurs de drogue aux travailleuses du sexe et à leurs
clients à cause de l'existence des groupes 5 et 6 : drogués à risque qui sont
aussi des clients à risque, travailleuses du sexe qui sont à risque. Les
composantes du vecteur \(\,\Lambda(t)\) et de la matrice \(\mathbb{A}(t)\) qui
sont non nulles se déduisent des figures 1 et 2. Par exemple,
\(\Lambda_2=\varepsilon\, \lambda\, r\), \(\mathbb{A}_{1,1}=\alpha+\sigma\) et
\(\mathbb{A}_{1,11}=-\tau\, q\).
Tournons-nous vers la forme des contacts:
* On suppose que la fréquence des visites aux travailleuses du sexe parmi les
différents groupes de clients (groupes 1, 5, 7, 9, 13, 17) est la même, de
sorte que \(A_i=A\) pour ces groupes et \(A_i=0\,\) pour tous les autres
groupes. Ceci revient à remplacer la loi de probabilité rapportée dans [21,
tableau 175] pour la fréquence des visites par une dichotomie
client/non-client avec une fréquence moyenne pour les clients. De plus, il
n'y a pour le Yunnan aucune donnée reliant la consommation de drogue avec la
fréquence des visites aux travailleuses du sexe.
* On suppose que la fréquence à laquelle les travailleuses du sexe (groupes 2,
6, 8, 10, 14, 18) vendent leurs services est la même, de sorte que \(a_i=a\)
pour ces groupes et \(a_i=0\,\) pour tous les autres groupes. Avec toutes ces
hypothèses, le paramètre \(\,a\) disparaît du modèle à cause de la forme de
\(\mathbb{B}^{\mathrm{sexe}}_{ij}\,\) dans (1). À nouveau, il n'y a pas de
donnée reliant la consommation de drogue avec la fréquence de vente de
services sexuels au Yunnan.
* On suppose que le préservatif est utilisé si l'un ou l'autre des partenaires
sexuels est « sûr ». Ainsi le coefficient \(\,c_{ij}\), que l'on n'a besoin
de définir que lorsque i est un groupe de clients et j un groupe de
travailleuses du sexe, est égal à 0 pour \(\,i=1,5,7\) et \(j=2, 6, 8\,\), et
égal à 1 sinon.
* On suppose que le taux de réutilisation des seringues soit le même parmi les
différents groupes à risque de drogués (groupes 3, 4, 5, 6, 9, 10), de sorte
que \(B_i=B\) pour ces groupes et \(B_i=0\,\) pour tous les autres groupes.
Aucune donnée n'est disponible sur ce taux au Yunnan, donc B devra être
choisi pour ajuster les données de prévalence du VIH.
Enfin, dans le cas où \(\gamma(t,x)\,\) ne dépend pas de t (c'est-à-dire
avant l'introduction des traitements antirétroviraux), alors il y a une loi de
probabilité fixe \(\,T_I\,\) pour la période d'incubation du SIDA.
\(\exp(-\int_0^x \gamma(t)\, dt)\,\) est la probabilité qu'une personne infectée
par le VIH n'ait pas le SIDA après x années d'infection. On a \[1-\int_0^x
T_I(t)\, dt= \exp \left (-\int_0^x \gamma(t)\, dt \right ).\] Ainsi, avec une
formule pour \(\,T_I(x)\), \(\,\gamma(x)\,\) se calcule avec la formule
\[\gamma(x)=T_I(x)/\left (1-\int_0^x T_I(t)\, dt \right ).\]
5. Le seuil épidémique
Dans cette section, on discute du seuil épidémique pour le modèle avec 18
groupes et des paramètres indépendants du temps et l'on calcule la matrice de
prochaine génération W* donnée par (5). Noter que les groupes 1 à 10 sont des
groupes essentiels, qu'ils sont reliés, que les groupes 12 et 16 sont à la fois
des sources et des puits, que les groupes 11, 13, 14 et 15 sont des sources et
que le groupe 18 est un puits. Le groupe 17 n'est ni un groupe essentiel, ni une
source, ni un puits. On voit tout d'abord que l'état d'équilibre sans maladie
pour la population masculine est donné par \begin{eqnarray*}
S_{11}^0&=&\frac{\lambda}{\alpha+\sigma+\tau}\, , \quad S_1^0=\frac{\tau\,
q}{\alpha+\sigma}\, S_{11}^0\, ,\quad S_{13}^0= \frac{\tau\, q'}{\alpha+\sigma}\,
S_{11}^0\, ,\\ S_3^0&=&\frac{\sigma\, p}{\overline{\alpha}+\tau}\, S_{11}^0\,
,\quad S_{15}^0=\frac{\sigma\, p'}{\overline{\alpha}+\tau}\, S_{11}^0\, ,\\
S_5^0&=&\frac{\sigma\, p\, \tau\, q}{\overline{\alpha}} \Bigl
(\frac{1}{\alpha+\sigma} + \frac{1}{\overline{\alpha}+\tau}\Bigr ) S_{11}^0\,
,\quad S_7^0=\frac{\sigma\, p'\, \tau\, q}{\overline{\alpha}} \Bigl
(\frac{1}{\alpha+\sigma} + \frac{1}{\overline{\alpha}+\tau}\Bigr ) S_{11}^0\, ,\\
S_9^0&=&\frac{\sigma\, p\, \tau\, q'}{\overline{\alpha}} \Bigl
(\frac{1}{\alpha+\sigma} + \frac{1}{\overline{\alpha}+\tau}\Bigr ) S_{11}^0\,
,\quad S_{17}^0=\frac{\sigma\, p'\, \tau\, q'}{\overline{\alpha}} \Bigl
(\frac{1}{\alpha+\sigma} + \frac{1}{\overline{\alpha}+\tau}\Bigr ) S_{11}^0\, .
\end{eqnarray*} Pour la population féminine, l'état d'équilibre sans maladie est
donné par \begin{eqnarray*} S_2^0&=&\frac{\varepsilon\, \lambda\,
r}{\alpha+\widehat{\sigma}+\mu}\, ,\quad S_{14}^0=\frac{\varepsilon\, \lambda\,
r'}{\alpha+\widehat{\sigma}+\mu}\, ,\quad S_{12}^0=\frac{\varepsilon'\, \lambda +
\mu (S_2^0 + S_{14}^0)}{\alpha+\widehat{\sigma}}\\
S_4^0&=&\frac{\widehat{\sigma}\, p\, S_{12}^0}{\overline{\alpha}+\kappa}\, ,\quad
S_{16}^0=\frac{\widehat{\sigma}\, p'\, S_{12}^0}{\overline{\alpha}+\kappa}\, ,\\
S_6^0&=&\frac{\widehat{\sigma}\, p\, S_2^0+\kappa\, r\,
S_4^0}{\overline{\alpha}}\, ,\quad S_8^0=\frac{\widehat{\sigma}\, p'\, S_2^0
+\kappa\, r\, S_{16}^0}{\overline{\alpha}}\, ,\\
S_{10}^0&=&\frac{\widehat{\sigma}\, p\, S_{14}^0 + \kappa\, r'\,
S_4^0}{\overline{\alpha}}\, ,\quad S_{18}^0=\frac{\widehat{\sigma}\, p'\,
S_{14}^0+\kappa\, r'\, S_{16}^0}{\overline{\alpha}}\, . \end{eqnarray*} Les seuls
coefficients non nuls de la matrice \(\mathbb{B}^{\mathrm{drogue}}(N)\) sont \[
\mathbb{B}^{\mathrm{drogue}}_{i,j}(N)= \frac{B\,
\pi}{N_{\mathrm{drogu\acute{e}s\,\grave{a}\,risque}}} \quad i,j=3,4,5,6,9,10, \]
avec
\(N_{\mathrm{drogu\acute{e}s\,\grave{a}\,risque}}=N_3+N_4+N_5+N_6+N_9+N_{10}\).
On définit \[\beta_0=\int_0^\infty e^{-\alpha\, t - \int_0^t \gamma(x)\, dx}\,
dt\, ,\] avec des expressions similaires pour \(\beta_\sigma\),
\(\beta_{\hat{\sigma}}\), \(\beta_{\sigma+\tau}\) et
\(\beta_{\hat{\sigma}+\mu}\). On remplace a par a+s,
\(\,\alpha+\widehat{\sigma}\), a+s+t et \(\alpha+\widehat{\sigma}+\mu\). On
définit de même \(\overline{\beta}_0\), \(\overline{\beta}_\tau\) et
\(\overline{\beta}_\kappa\,\), avec \(\overline{\alpha}\) qui remplace
\(\alpha\). On obient pour la matrice de la proposition 5 :
\begin{equation}\tag{12} \frac{\Omega^{\mathrm{drogue}}_{i,j}\,
S^0_{\mathrm{drogu\acute{e}\, \grave{a}\,risque}}}{B\, \pi\, S_i^0}=
\sum_{k=3,5,9} T_{k,j} + \sum_{k=4,6,10} T_{k,j} \end{equation} avec
\(i=3,4,5,6,9,10\) et \(j=1\ldots 18\,\), alors que
\(\Omega^{\mathrm{drogue}}_{i,j}=0\,\) pour les autres indices. Rappelons que la
définition de \(\,T_{i,j}\,\) se trouve juste après (6). Noter que le côté droit
de (12) est l'espérance du temps qu'une personne séropositive passera infectée
dans un groupe de drogués à risque, si elle appartenait au groupe j lors de son
infection. En utilisant (6), on arrive à \[ \sum_{k=3,5,9} T_{k,j} +
\sum_{k=4,6,10} T_{k,j}= \left\{\begin{array}{ll} \overline{\beta}_0
&j=3,4,5,6,9,10,\\ p\,\sigma\,
\frac{\overline{\beta}_0-\beta_\sigma}{\alpha+\sigma-\overline{\alpha}} \,
&j=1,11,13,\\ p\,\widehat{\sigma}\,
\frac{\overline{\beta}_0-\beta_{\hat{\sigma}}}{\alpha+\hat{\sigma}-\overline{\alp
ha}} \, & j=2,12,14,\\ \end{array} \right. \] et 0 pour \(j=7,8,15,16,17,18\).
\(\Omega^{\mathrm{drogue}}\,\) a un rayon spectral \[R_0^{\mathrm{drogue}}= B\,
\pi\, \overline{\beta}_0.\] En effet, écrivons l'équation caractéristique pour
les valeurs propres de \(\,\Omega^{\mathrm{drogue}}\,\) comme un déterminant et
développons le déterminant selon les lignes pleines de zéros. Le problème se
réduit à trouver les valeurs propres d'une matrice de rang 1 de la forme
\[(S_3\,S_4\,S_5\,S_6\,S_9\,S_{10})^T\,(1\,1\,1\,1\,1\,1)\,B\,
\pi\,\overline{\beta}_0 / S^0_{\mathrm{drogu\acute{e}s\,\grave{a}\,risque}}.\]
\(^T\,\) désigne la transposition des vecteurs. Mais le rayon spectral des
matrices de la forme \[(y_1\,\ldots\,y_k)^T (z_1\,\ldots\,z_k)\] est donné par
\[\sum_{i=1}^k y_i\, z_i,\] comme on le vérifie facilement, sinon voir [17, p.
80].
Les seuls coefficients non nuls de la matrice
\(\mathbb{B}^{\mathrm{sexe}}(N)\) sont \[
\mathbb{B}^{\mathrm{sexe}}_{i,j}(N)=\left \{\begin{array}{lll} \frac{A\,
\pi_2}{N_{\mathrm{prostitu\acute{e}es}}} &\quad &i=1,5,7;\,j=2,6,8,\\ \frac{A\,
\pi_1}{N_{\mathrm{prostitu\acute{e}es}}}&\quad & i=2,6,8;\,j=1,5,7, \end{array}
\right.\] avec
\(\,N_{\mathrm{prostitu\acute{e}es}}=N_2+N_6+N_8+N_{10}+N_{14}+N_{18}\). On
obtient pour la matrice \(\,\Omega^{\mathrm{sexe}}\) \[
\frac{\Omega^{\mathrm{sexe}}_{i,j} \, S^0_{\mathrm{prostitu\acute{e}es}}}{A\,
S_i^0} = \left\{\begin{array}{lll} \pi_2 \sum_{k=2,6,8} T_{k,j},&
&i=1,5,7,\,j=2j'\, ,\\ \pi_1 \sum_{k=1,5,7} T_{k,j},& &i=2,6,8,\,j=2j'+1\, ,\\
\end{array} \right. \] et \(\Omega^{\mathrm{sexe}}_{i,j}=0\,\) sinon. Noter que
\(\,\sum_{k=2,6,8} T_{k,j}\) (resp. \(\sum_{k=1,5,7} T_{k,j}\)) est l'espérance
du temps qu'une personne séropositive passera infectée dans un groupe de
travailleuses du sexe à risque (resp. de clients à risque), si elle appartenait
au groupe j lors de son infection. En utilisant (6), on arrive à
\begin{eqnarray*} \sum_{i=2,6,8} T_{i,12} &=&\frac{\kappa\, r\,
\widehat{\sigma}}{\alpha+\widehat{\sigma}-\overline{\alpha}-\kappa} \Biggl
[\frac{\overline{\beta}_0-\overline{\beta}_\kappa}{\kappa} -
\frac{\overline{\beta}_0-\beta_{\hat{\sigma}}}{\alpha+\widehat{\sigma}-\overline{
\alpha}} \Biggr ]\\ \sum_{i=2,6,8} T_{i,14} &=& \sum_{i=2,6,8} T_{i,12} -
\frac{\kappa\, r\,
\widehat{\sigma}}{\alpha+\widehat{\sigma}+\mu-\overline{\alpha}-\kappa} \Biggl
[\frac{\overline{\beta}_0-\overline{\beta}_\kappa}{\kappa} -
\frac{\overline{\beta}_0-\beta_{\hat{\sigma}+\mu}}{\alpha+\widehat{\sigma}+\mu-\o
verline{\alpha}} \Biggr ]\\ \sum_{i=2,6,8} T_{i,2} &=& \sum_{i=2,6,8} T_{i,14} +
\beta_{\hat{\sigma}+\mu}+\widehat{\sigma}\,
\frac{\overline{\beta}_0-\beta_{\hat{\sigma}+\mu}}{\alpha+\hat{\sigma}+\mu-\overl
ine{\alpha}}\, ,\\ \sum_{i=2,6,8} T_{i,4} &=& \sum_{i=2,6,8} T_{i,16} =r
(\overline{\beta}_0 - \overline{\beta}_\kappa)\, , \\ \sum_{i=2,6,8} T_{i,6}
&=&\sum_{i=2,6,8} T_{i,8} = \sum_{i=1,5,7} T_{i,5} = \sum_{i=1,5,7} T_{i,7}
=\overline{\beta}_0\, ,\\ \sum_{i=1,5,7} T_{i,1}&=&\beta_\sigma + \sigma\,
\frac{\overline{\beta}_0-\beta_\sigma}{\alpha+\sigma-\overline{\alpha}}\, ,\\
\sum_{i=1,5,7} T_{i,3}&=& \sum_{i=1,5,7} T_{i,15} = q
(\overline{\beta}_0-\overline{\beta}_\tau)\, ,\\ \sum_{i=1,5,7} T_{i,11}&=&
\sigma\, q \Biggl [ \frac{\overline{\beta}_0 - \beta_\sigma
}{\alpha+\sigma-\overline{\alpha}} - \frac{\overline{\beta}_0 -
\beta_{\sigma+\tau} }{\alpha+\sigma+\tau-\overline{\alpha}} \Biggr ] \\ &&\quad +
\frac{\tau\, q\, \sigma}{\alpha+\sigma-\overline{\alpha}} \Biggl [
\frac{\overline{\beta}_0 - \overline{\beta}_\tau}{\tau} -
\frac{\overline{\beta}_0 - \beta_{\sigma+\tau}
}{\alpha+\sigma+\tau-\overline{\alpha}} \Biggr ]\, ,\\ \sum_{i=1,5,7} T_{i,9}&=&
\sum_{i=1,5,7} T_{i,13} = \sum_{i=1,5,7} T_{i,17} = \sum_{i=2,6,8} T_{i,10} =
\sum_{i=2,6,8} T_{i,18} = 0\, . \end{eqnarray*}
\(\Omega^{\mathrm{sexe}}\,\) a un rayon spectral \begin{equation}
R_0^{\mathrm{sexe}}=\frac{A}{S^0_{\mathrm{prostitu\acute{e}es}}} \Biggl \{\pi_1\,
\pi_2 \Biggl [ \sum_{j=1,5,7} \Biggl (\sum_{i=1,5,7} T_{i,j} \Biggr ) S_j^0
\Biggr ]\\ \Biggl [\sum_{j=2,6,8} \Biggl (\sum_{i=2,6,8} T_{i,j} \Biggr ) S_j^0
\Biggr ] \Biggr \}^{1/2}. \end{equation} En effet, on écrit comme un déterminant
l'équation caractéristique pour les valeurs propres de
\(\Omega^{\mathrm{sexe}}\). On développe le déterminant le long des lignes
pleines de zéros. On prend les lignes dans l'ordre 1-5-7-2-6-8. Le problème
revient à trouver les valeurs propres d'une matrice de rang 2 de la forme \[
M=\left(\begin{array}{c|c}0 & M_2\\ \hline M_1 & 0\end{array}\right ) . \]
\(M_1\) et \(M_2\) sont des matrices \(3\times 3\) données par \begin{eqnarray*}
M_1&=& \pi_1\,\mathrm{colonne}(S_i)_{i=2,6,8}\,\mathrm{ligne}\Biggl
(\sum_{i=1,5,7} T_{i,j}\Biggr )_{j=1,5,7},\\ M_2&=&
\pi_2\,\mathrm{colonne}(S_i)_{i=1,5,7}\,\mathrm{ligne}\Biggl (\sum_{i=2,6,8}
T_{i,j}\Biggr )_{j=2,6,8}. \end{eqnarray*} c est une valeur propre non nulle de M
si et seulement si \(\,\xi^2\) est une valeur propre non nulle de la matrice
\(M_1\, M_2\). Le rayon spectral se calcule comme ci-dessus puisque c'est une
matrice de rang un. Voir par exemple [42, p. 415].
Considérons le cas où la loi de probabilité de l'incubation du SIDA est une
loi Gamma \[T_I(x)=\omega^\nu x^{\nu-1}\, e^{-\omega\, x} / \Gamma(\nu).\] w et n
sont liés à la moyenne \(M_I\) et à la variance \(V_I\) de \(T_I\) par les
relations \(\omega=M_I/V_I\) et \(\nu=(M_I)^2/V_I\). En intégrant par parties, on
obtient \[\beta_0=\int_0^\infty e^{-\alpha x}\, \Bigl (1-\int_0^x T_I(t)\,
dt\Bigr )\, dx =\frac{1}{\alpha} \Bigl (1-\int_0^\infty e^{-\alpha x}\, T_I(x)\,
dx \Bigr ) =\frac{1- (1+\alpha/\omega)^{-\nu}}{\alpha}\] et des expressions
similaires pour \(\beta_\sigma\), \(\beta_{\hat{\sigma}}\),
\(\beta_{\hat{\sigma}+\mu}\), \(\beta_{\sigma+\tau}\), \(\overline{\beta}_0\),
\(\overline{\beta}_\tau\) et \(\overline{\beta}_\kappa\).
Il semble difficile de calculer explicitement le rayon spectral de la matrice
complète W*. On peut bien sûr calculer ce rayon spectral numériquement pour
toutes valeurs des paramètres avec les formules précédentes. On rappelle que
\(R_0 \geq \max \{R_0^{\mathrm{sexe}},\, R_0^{\mathrm{drogue}}\}\). Cette section
donne des formules explicites pour \(\,R_0^{\mathrm{sexe}}\) et
\(R_0^{\mathrm{drogue}}\).
6. Estimation et simulation pour Kunming
Pour la simulation, on a pris les valeurs des paramètres du tableau 3.
CAPTION: Tableau 3. Paramètres et valeurs numériques choisies pour la simulation.
période 1994-2004
\(\alpha\) taux de vieillissement 1/32 an\(^{-1}\)
\(\overline{\alpha}\) taux de sortie des drogués 1/18 an\(^{-1}\)
\(1/\delta\) espérance de vie avec le SIDA 1 an
\(M_I\) durée moyenne de l'incubation 12,6 ans
\(\sqrt{V_I}\) écart type de la période d'incubation 9,4 ans
\(\lambda\) flux d'entrée 27 000 an\(^{-1}\)
\(\sigma\) taux masculin de démarrage de la drogue \(9\times 10^{-4}\)
an\(^{-1}\)
\(\widehat{\sigma}\) taux féminin de démarrage de la drogue \(3\times 10^{-4}\)
an\(^{-1}\)
\(\tau\) taux pour devenir client \(\mbox{1,2}\times 10^{-2}\) an\(^{-1}\)
\(A\) visites des clients 2,4 mois\(^{-1}\)
\(1/\mu\) durée du travail 2,5 ans
\(\varepsilon\) jeunes femmes devenant travailleuses du sexe 30%
p nouveaux drogués à risque 25% \(\nearrow\) 50%
q nouveaux clients à risque 70% \(\searrow\) 10%
r nouvelles travailleuses du sexe à risque 70% \(\searrow\) 10%
\(\pi_1\) probabilité de transmission de l'homme à la femme 0,7%
\(\pi_2\) probabilité de transmission de la femme à l'homme 1,4%
\(B\, \pi\) taux d'échange de seringues \(\times\) probabilité de transmission 4
an\(^{-1}\)
\(\kappa\) femmes droguées se prostituant 0,1 an\(^{-1}\)
Quelques commentaires sont nécessaires:
* On choisit la date t=0 au milieu de l'année 1994. Bien que quelques cas de
VIH aient déjà été rapportés avant cette date à Kunming, ce choix pour le
point de départ permet un meilleur ajustement à la croissance rapide de
l'infection parmi les utilisateurs de drogue en 1995-1996.
* Puisque l'âge de la population étudiée est entre 18 et 50 ans et puisque la
mortalité est faible dans ce groupe d'âge pour les personnes non droguées, on
n'a gardé pour a que le taux de vieillissement.
* Dans le tableau 2, la population pour l'année 1999 est probablement le
chiffre le plus fiable puisqu'il vient d'un recensement. Les estimations pour
les années suivantes (2000 et 2002) indiquent que la population croît
d'environ 45000 par an pendant cette période. On obtient ainsi à rebours
l'estimation 1,838 million pour la population totale en 1994 et
approximativement 0,92 million pour les 18-50 ans si l'on suppose qu'ils
représentent environ 50% de la population totale.
* On a pris comme condition initiale
\[S(t=0)=(63784,\,11662,\,711,\,118,\,215,\,157,\\,645,\,472,\,92,\,67,\,3616
35,\,440899,\,27336,\,4998,\,2133,\,354,\,276,\,202)\] plus un individu
nouvellement infecté dans le groupe 5, celui des utilisateurs de drogue à
risque qui sont aussi clients. Il y a une part d'arbitraire dans ces choix
(on ne détaille pas comment l'on a choisi ces nombres), mais ils donnent des
estimations raisonnables :
+ une population âgée de 18 à 50 ans de 0,92 million,
+ environ 20% des hommes sont clients,
+ 70% des clients sont à risque,
+ les travailleuses du sexe ont environ 3 clients par semaine,
+ 70% des travailleuses du sexe sont à risque,
+ les hommes drogués représentent 0,9% de la population masculine
+ 25% des drogués sont à risque.
* Pour le paramètre \(\overline{\alpha}\,\), on a ajouté au taux de
vieillissement la mortalité des utilisateurs de drogue estimée par [18]: à la
fin d'une étude de quatre ans portant sur 192 drogués séronégatifs, 18
étaient morts. On définit \(\,\delta^{\mathrm{drogue}}\,\), la mortalité
annuelle des drogués. On a alors \(\,1-\exp(-4\,
\delta^{\mathrm{drogue}})=18/192\), donc \(\delta^{\mathrm{drogue}} \simeq
\mbox{0,0246}\,\) par an. Enfin
\(\overline{\alpha}=\alpha+\delta^{\mathrm{drogue}}\).
* L'espérance de vie des personnes avec le SIDA vient d'une étude dans une
autre partie du Yunnan [53]. Cette même étude donne les probabilités de
survie des drogués séropositifs en fonction du temps écoulé depuis
l'infection. Pour estimer la moyenne et la variance de la loi Gamma
représentant la période d'incubation du SIDA, on définit
+ \(Z_I(t)\,\) la probabilité qu'un drogué séropositif soit en vie et sans
SIDA au temps t si l'infection s'est produite au temps t=0.
+ \(Z_R(t)\,\) la probabilité qu'un drogué séropositif soit en vie et avec
le SIDA au temps t si l'infection s'est produite au temps t=0.
\(Z_I(t)\) et \(Z_R(t)\,\) sont solutions du système d'équations
différentielles \[\frac{dZ_I}{dt} = -(\delta^{\mathrm{drogue}} + \gamma(t))\,
Z_I(t),\quad \frac{dZ_R}{dt} = \gamma(t)\, Z_I(t) - \delta\, Z_R(t)\] avec
les conditions initiales \(Z_I(0)=1\) et \(Z_R(0)=0\). On résoud ce système
et l'on utilise la relation entre \(\,\gamma(t)\) et \(T_I(t)\). On obtient
\[Z_I(t)=e^{-\delta^{\mathrm{drogue}}\, t} \left (1-\int_0^t T_I(x)\, dx
\right ),\quad Z_R(t)=\int_0^t T_I(x)\, e^{-\delta^{\mathrm{drogue}}\, x}\,
e^{-\delta (t-x)}\, dx.\] Il est donc relativement facile de calculer
numériquement la probabilité de survie des drogués \(Z_I(t)+Z_R(t)\,\) en
fonction du temps écoulé depuis l'infection dans le cadre de ce modèle. Le
meilleur ajustement au sens des moindres carrés aux données de [53] donne
\(\,M_I=\mbox{12,6}\) ans et \(\sqrt{V_I}=\mbox{9,4}\,\) ans (figure 3). Avec
la méthode de [33, p. 113], une région de confiance à 95% pour
\(\,(M_I,\sqrt{V_I})\,\) est une étroite zone à l'intérieur du rectangle [9,9
18,7]×[5,8 17,9]. Ces estimations ne prennent pas en compte les intervalles
de confiance dans les données de [53], qui utilisent la méthode de Kaplan et
Meier pour la courbe de survie. Rappelons que les traitements antirétroviraux
n'étaient pas facilement disponible au Yunnan pendant la période de la
simulation.
[2006BMBFig3a.png] [2006BMBFig3b.png]
Figure 3. À gauche: probabilité de survie des drogués séropositifs en
fonction du temps écoulé depuis l'infection (ligne continue:
\(Z_I(t)+Z_R(t)\) avec le choix optimal pour \(M_I\) et \(V_I\). Cercles:
données de [53]). À droite: loi de probabilité de la durée d'incubation du
SIDA \(\,T_I\).
* Les études comportementales faites par Horizon Market Research et Futures
Group Europe incluent des hommes et des travailleuses du sexe de plusieurs
grandes villes du Yunnan. On suppose qu'il n'y a pas de différence
comportementale significative entre les populations de ces villes, de sorte
que des moyennes peuvent représenter la situation à Kunming.
* On a choisi le paramètre l pour avoir un accroissement de la population âgée
de 18 à 50 ans de 45000 par an. L'accroissement de la population totale est
sans doute dû à l'arrivée de migrants âgés de 18 à 50 ans de la campagne
(l'accroissement naturel dû aux naissances est faible à cause de la politique
de l'enfant unique). On a choisi le paramètre s de sorte que
\(N_{\mathrm{hommes\, drogu\acute{e}s}}/N_{\mathrm{hommes}}\simeq
\mbox{0,9}\%\,\) à la fin de l'année 2001, comme l'indique [21, tableau 136].
On a choisi le paramètre \(\,\widehat{\sigma}\,\) pour avoir un rapport 3:1
entre les hommes drogués et les femmes droguées. Le nombre total de drogués
qui en résulte est proche de l'estimation de [39], à savoir 7000 personnes
qui s'injectent de la drogue à Kunming en 2002. On a choisi le paramètre t de
sorte que \(N_{\mathrm{clients}} / N_{\mathrm{hommes}} \simeq \mbox{21,4}\%\)
à la fin de l'année 2001, comme l'indique le tableau 149 du rapport sur les
hommes adultes.
* On a pris les paramètres \(A\) et \(1/\mu\) directement des rapports [21, 22,
Tableaux 63 et 174]. On a choisi le paramètre e de sorte que le nombre moyen
de clients par travailleuse du sexe \(\,A\, S_{\mathrm{clients}} /
S_{\mathrm{prostitu\acute{e}es}}\,\) en 2001 coïncide avec l'estimation du
tableau 78 du rapport sur les travailleuses du sexe. En conséquence,
l'estimation pour le nombre de travailleuses du sexe dans la simulation,
environ 20000 à la fin 2001, semble raisonnable quand on la compare aux
vagues estimations données pour d'autres villes en Chine [54].
* On prend pour \(\,p(t)\), \(q(t)\) et \(r(t)\,\) des fonctions affines de t
pour la durée de la simulation. Par exemple, \(p(t)=p(0)(1-t/T)+p(T)\, t/T\).
T est le temps à la fin de la simulation, c'est-à-dire à la fin de 2004. On a
choisi les valeurs initiales et finales pour ajuster les données: 20,4% de
seringues partagées en 1994 [49], 32% en 2003 [27], 46% de clients à risque
en 2001 [22, tableau 181], 35% de travailleuses du sexe à risque en 2001
[21,tableau 84]. \(\,p(t)\), \(q(t)\) et \(r(t)\) représentent des
pourcentages parmi les nouveaux drogués, les nouveaux clients et les
nouvelles travailleuses du sexe. Il y a donc un délai entre leurs valeurs et
les pourcentages actuels parmi les drogués, les clients et les travailleuses
du sexe. Le changement est le plus rapide parmi les travailleuses du sexe
puisqu'elles ne travaillent que quelques années avant d'être remplacées. Pour
les drogués, cela prend plus de temps et pour les clients encore plus.
* D'après [30], qui a étudié la transmission du VIH dans un contexte similaire
à savoir entre des travailleuses du sexe et leurs clients en Thaïlande, la
probabilité de transmission de la femme à l'homme pendant un contact sexuel
peut atteindre 6% à cause de la prévalence élevée d'autres infections
sexuellement transmissibles chez les travailleuses du sexe. Quoique beaucoup
de travailleuses du sexe à Kunming aient aussi de telles infections, nos
simulations numériques tendent à montrer que cette probabilité de
transmission est trop élevée. \(\,\pi_1\) et \(\pi_2\) ont donc été choisis
pour ajuster la prévalence du VIH chez les clients et les travailleuses du
sexe, en supposant que la transmission de la femme à l'homme soit deux fois
moindre que de l'homme à la femme.
* On a choisi le produit Bp pour ajuster la prévalence du VIH chez les drogués.
On a choisi le paramètre k pour avoir environ la moitié des femmes droguées
qui se prostituent.
La figure 4 est le résultat de la simulation du modèle avec les valeurs des
paramètres comme ci-dessus; elle montre le nombre total de personnes
séropositives et le nombre total de personnes vivant avec le SIDA. De nombreux
cas ne sont pas identifiés car les personnes craignent les discriminations en cas
de test du VIH positif; il est donc difficile d'avoir des estimations du nombre
total de cas à Kunming. On sait qu'en septembre 2003, 13948 cas de VIH et 841 cas
de SIDA avaient été rapportés au Yunnan [1] et qu'en septembre 2004, ces nombres
avaient atteint 17390 et 1118 [2]. Les estimations pour le nombre total de cas de
VIH en 2004 tournent autour de 100000 pour toute la province [1]. La présente
simulation donne environ 4200 personnes avec le VIH ou le SIDA à la fin 2004 dans
la ville de Kunming parmi les personnes âgées de 18 à 50 ans, ce qui inclut la
grande majorité des infections. Étant donné que la population du Yunnan est
d'environ 43 millions en 2004 (42,88 millions au recensement de l'an 2000), la
prévalence calculée pour toute la population de Kunming (\(4\,200/2\,290\,000
\simeq \mbox{0,18}\%\)) est proche de celle estimée pour tout le Yunnan
(\(100\,000/43\,000\,000 \simeq \mbox{0,23}\%\)). Les zones proches de la
frontière du Myanmar ont plus d'infections, tandis que les zones rurales isolées
en ont moins.
[2006BMBFig4.png] Figure 4. Nombre total de personnes avec le VIH ou le SIDA
(ligne continue) et avec le SIDA (ligne en pointillé) d'après la simulation. Cas
rapportés du tableau 1 (cercles). La figure 5 montre la prévalence du VIH parmi
les drogués, les travailleuses du sexe et les clients selon la simulation et
montre aussi les données correspondantes du tableau 1. [2006BMBFig5.png] Figure
5. Prévalence du VIH parmi les drogués [ligne en pointillé pour la simulation et
triangles qui pointent vers le haut pour les données du tableau 1], travailleuses
du sexe [ligne continue et triangles qui pointent vers le bas] et clients [ligne
mixte et cercles].
Comme la plupart des modèles épidémiques, les courbes sont assez sensibles
aux variations des paramètres. Ce serait sûrement un problème si l'on voulait
faire des prévisions pour le futur de l'épidémie, mais c'est plus un avantage
lors de l'ajustement aux données. Une analyse de sensibilité des paramètres
estimés est cependant difficile du fait que 19 paramètres interviennent dans le
modèle (tableau 3).
Une autre raison de ne pas continuer la simulation pour faire des prédictions
est que plusieurs mesures importantes ont été récemment adoptées à Kunming et au
Yunnan, qui peuvent profondément changer la transmission:
* le gouvernement de la province du Yunnan a décidé de promouvoir activement
les préservatifs [1]. À la fin 2004, 620 machines vendant des préservatifs
avaient été installées, en particulier dans tous les hôtels de la ville [2].
* un nouveau programme de réduction de risque a commencé ( China AIDS Info,
2004), qui pourrait s'avérer plus efficace d'un point de vue épidémiologique
que les projets pilotes à petite échelle et que les centres de
réhabilitation;
* en mars 2005, le bureau de contrôle du SIDA de Kunming a émis un règlement
exigeant un test du VIH par an pour toute personne travaillant dans un hôtel,
un bain public, un salon de beauté, une boîte de nuit et autres lieux de
divertissement à Kunming [3]. Les travailleuses du sexe séropositives ne
seront plus autorisées à travailler, de sorte qu'elles perdront leur travail
ou devront changer de poste au sein du même établissement mais sans contact
sexuel avec les clients.
Il est impossible de prévoir quantitativement comment ces mesures vont influencer
les paramètres du modèle. Noter aussi que contrairement à la Thaïlande, aucun
essai n'a été fait jusqu'à présent pour dissuader les clients de visiter les
travailleuses du sexe.
7. Conclusion
Les nombres \(R_0\), \(R_0^{\mathrm{drogue}}\) et \(R_0^{\mathrm{sexe}}\,\)
n'ont été définis que quand les paramètres du modèle sont constants. Mais p, q et
r varient dans la simulation de la section précédente. Néanmoins, en utilisant
les paramètres du tableau 3, on obtient que \(\,R_0^{\mathrm{drogue}}= B\, \pi\,
\overline{\beta}_0 \simeq 32\). Ainsi le produit du taux d'échange des seringues
B et de la probabilité de transmission par seringue p devrait être divisé par au
moins 32 pour arrêter l'épidémie chez les utilisateurs de drogue. Des programmes
d'échange des seringues peuvent réduire B, tandis qu'une campagne expliquant
comment nettoyer les seringues peut réduire p. Ces mesures devraient atteindre
\(1-1/32\simeq 97\%\,\) des utilisateurs de drogue. Un des buts fixés par le plan
d'action pour l'arrêt, la prévention et le contrôle du VIH/SIDA (2001-2005) pour
la fin 2005 était déjà que
« 95% de la population dans les centres de désintoxication, les centres de
rééducation et les prisons aient une connaissance de base de la prévention du
VIH ».
Même si ce but était atteint dans ces institutions, certains utilisateurs de
drogue ne passent pas par ces institutions. Donc atteindre 97% des personnes à
risque semble assez difficile.
Avec les paramètres du tableau 3, on obtient aussi que
\(R_0^{\mathrm{sexe}}\simeq \mbox{4,25} \sqrt{q\, r}\). On a ainsi
\(\,R_0^{\mathrm{sexe}} < 1\) dès que la moyenne géométrique des comportements à
risque chez les clients et les travailleuses du sexe est telle que \(\sqrt{q\, r}
< 23\%\). Rappelons qu'en 2001, 46% des clients et 35% des travailleuses du sexe
étaient à risque, donc \(\,\sqrt{\mbox{0,46}\times \mbox{0,35}}\simeq40\%\).
Ainsi, il suffirait de diviser les comportements à risque par deux pour arrêter
l'épidémie sexuelle.
Le raisonnement ci-dessus considère les deux voies de transmission
séparément. On peut se demander si c'est correct puisque le modèle couple les
deux voies. Choisissons par exemple q=r et faisons varier B. On obtient la figure
6, qui montre les lignes de niveau de \(\,R_0\,\) calculées avec les formules de
la Section 5. Au lieu de mettre q=r et B sur les axes, on a mis
\(R_0^{\mathrm{sexe}}\) et \(R_0^{\mathrm{drogue}}\) qui leur sont
proportionnels.
[2006BMBFig6.png] Figure 6. Lignes de niveau de \(R_0\) dans le diagramme avec
\(R_0^{\mathrm{sexe}}\) en abscisse et \(R_0^{\mathrm{drogue}}\) en ordonnée.
Ce qui est remarquable, c'est que l'approximation \(R_0 \simeq \max \bigl
\{R_0^{\mathrm{sexe}},R_0^{\mathrm{drogue}} \bigr \}\) semble assez bonne, au
moins près du seuil \(R_0=1\). Ceci justifie d'une certaine manière le fait de
considérer les deux voies de transmission séparément dans la discussion du seuil
épidémique.
On a \(\,R_0 ^{\mathrm{sexe}}\ll R_0^{\mathrm{drogue}}\). Parmi les mesures
nouvelles adoptées à Kunming et au Yunnan, celles visant les utilisateurs de
drogue sont plus urgentes que celles visant la transmission sexuelle. Cependant
le groupe impliqué dans la transmission sexuelle (les travailleuses du sexe et
leurs clients) est bien plus grand que le groupe impliqué dans la transmission
par injection de drogue. De plus le modèle ne prend pas en compte la transmission
sexuelle non commerciale, qui peut impliquer un groupe encore plus grand mais qui
peut être réduite si par exemple les clients et les (anciennes) travailleuses du
sexe utilisent aussi des préservatifs pour leurs relations non commerciales. Une
discussion précise de l'efficacité des différentes formes de prévention requiert
plus d'information sur les coûts. Cela sort du cadre du présent article, mais on
espère pouvoir y travailler à l'avenir.
Remerciements
Des parties de cet article ont été rédigées pendant que N. Bacaër visitait le
Laboratoire d'Informatique, Automatique et Mathématiques Appliquées (LIAMA) à
Pékin, et pendant que X. Abdurahman visitait l'Institut de Recherche pour le
Développement à Bondy en France.
Références bibliographiques
1. Agence Xinhua (23/02/2004). Yunnan declares last-ditch war against AIDS.
http://news.xinhuanet.com/english/2004-02/23/content_1326621.htm
2. Agence Xinhua (01/12/2004). Yunnan province reports progress in HIV/AIDS
prevention. http://english.sina.com/china/1/2004/1201/12161.html
3. Agence Xinhua (21/03/2005). Kunming conducts AIDS, venereal disease test in
service sector. www.sina.com.
4. Anderson, R. M., G. F. Medley, R. M. May et A. M. Johnson (1986). A
preliminary study of the transmission dynamics of the human immunodeficiency
virus (HIV), the causative agent of AIDS. IMA J. Math. Appl. Med. Biol. 3,
229-263.
5. Bacaër, N. (2003). The asymptotic behavior of the McKendrick equation with
immigration. Math. Popul. Stud. 10, 1-20.
6. Berman, A. et R. J. Plemmons (1994). Nonnegative Matrices in the Mathematical
Sciences. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphie.
7. Bignami-Van Assche, S. (2004). Estimates and projections of HIV/AIDS for
Yunnan province, China. Population Review 43, No. 2, Section 1.
8. Brown, T. et W. Peerapatanapokin (2004). The Asian epidemic model: a process
model for exploring HIV policy and programme alternatives in Asia. Sex.
Transm. Infect. 80, i19-i24.
9. Capasso, V., D. Morale, M. Di Somma, M. Villa, A. Nicolisi et F. Sicurello
(1997). Multistage models of HIV transmission among injecting drug users via
shared drug injection equipment, in O. Arino et al. (Eds), Advances in
Mathematical Population Dynamics - Molecules, Cells and Man, World
Scientific, Singapour, p. 511-527.
10. Castillo-Chavez, C., K. Cooke, W. Huang et S. A. Levin (1989a). On the role
of long incubation periods in the dynamics of acquired immunodeficiency
syndrome (AIDS) - part 1: single population models. J. Math. Biol. 27,
373-398.
11. Castillo-Chavez, C., K. Cooke, W. Huang et S. A. Levin (1989b). On the role
of long incubation periods in the dynamics of acquired immunodeficiency
syndrome (AIDS) - part 2: multiple group models, in C. Castillo-Chavez (Ed),
Mathematical and Statistical Approaches to AIDS Epidemiology,
Springer-Verlag, New York, p. 200-217.
12. Cheng, H., J. Zhang, J. Kou, Y. Zhang, X. Zhang, M. Jia, X. Bi, Y. Ma, Y.
Liang, Z. Yang, S. Pan et X. An (1996). HIV infection tends to spread to
whole Yunnan province. Chin. J. STD/AIDS Prev. Cont. 2, 54-57.
13. China AIDS Info (7 April 2004). Yunnan passes new AIDS policy, will provide
clean needles to drug users. www.china-aids.org.
14. Cohen, J. (2004a). HIV/AIDS in China - Poised for takeoff? Science 304,
1430-1432.
15. Cohen, J. (2004b). HIV/AIDS in China - Changing course to break the
HIV-heroin connection. Science 304, 1434-1435.
16. Cohen, J. (2004c). HIV/AIDS in Asia - Asia and Africa: on different
trajectories? Science 304, 1932-1938.
17. Diekmann, O. et J. A. P. Heesterbeek (2000). Mathematical Epidemiology of
Infectious Diseases. John Wiley \& Sons, Chichester.
18. Duan, Y., X. Zheng et C. Zhen (1995). Investigation of mortality among
HIV-infected intravenous drug users in Ruili region of Yunnan province.
Zhonghua Liu Xing Bing Xue Za Zhi 16, 71-73.
19. Greenhalgh, D. et F. Lewis (2002). The general mixing of addicts and needles
in a variable-infectivity needle-sharing environment. J. Math. Biol. 44,
561-598.
20. Hethcote, H. W. et H. R. Thieme (1985). Stability of the endemic equilibrium
in epidemic models with subpopulations. Math. Biosci. 75, 205-227.
21. Horizon Market Research et Futures Group Europe (2002a). 2001 behavioural
surveillance survey in Yunnan and Sichuan - adult male report.
www.futuresgroup.com/Documents/2001BSSadultmale.pdf.
22. Horizon Market Research et Futures Group Europe (2002b). 2001 behavioural
surveillance survey in Yunnan and Sichuan - sex worker report.
www.futuresgroup.com/Documents/2001BSSsexworker.pdf.
23. Horn, R. A. et C. R. Johnson (1985). Matrix Analysis. Cambridge University
Press, Cambridge.
24. Huang, W., K. L. Cooke et C. Castillo-Chavez (1992). Stability and
bifurcation for a multiple-group model for the dynamics of HIV/AIDS
transmission. SIAM J. Appl. Math. 52, 833-854.
25. Hyman, J. M. et E. A. Stanley (1988). Using mathematical models to understand
the AIDS epidemic. Math. Biosci. 90, 415-473.
26. Iannelli, M., F. A. Milner, A. Pugliese et M. Gonzo (1997). The HIV/AIDS
epidemics among drug injectors: a study of contact structure through a
mathematical model. Math. Biosci. 139, 25-58.
27. Ka, K. (2004). Voluntary counseling and testing among injecting drug users in
Kunming city, Yunnan Province. 15th International AIDS Conference, Bangkok,
r\acute{e}sum\acute{e} no. WePeC5999.
28. Kermack, W. O. et A. G. McKendrick (1933). Contributions to the mathematical
theory of epidemics - III. Further studies of the problem of endemicity.
Proc. Roy. Soc. London Ser. A 141, 94-122. Bull. Math. Biol. 53 (1991),
89-118.
29. Lu, L., M. Jia, X. Zhang, H. Luo, Y. Ma, L. Fu et J. Lu (2004). Analysis for
epidemic trend of acquired immunodeficiency syndrome in Yunnan Province of
China. Chin. J. Prev. Med. 38, 309-312.
30. Mastro, T. D., G. A. Satten, T. Nopkesorn, S. Sangkharomya et I. M. Longini
(1994). Probability of female-to-male transmision of HIV-1 in Thailand.
Lancet 434, 204-207.
31. McCoy, C. B., S. Lai, L. R. Metsch, X. Wang, C. Li, M. Yang et L. Yulong
(1997). No pain no gain, establishing the Kunming, China, drug rehabilitation
center. Journal of Drug Issues 27, 73-85.
32. Merli, M. G., S. Hertog, B. Wang et J. Li (2004). Modelling the course of the
HIV/AIDS epidemic in China: an application of a bio-behavioral
macrosimulation model of the spread of HIV/AIDS. Centre de
D\acute{e}mographie et \acute{E}cologie, manuscrit no. 2004-14,
Universit\acute{e} de Wisconsin-Madison.
33. Motulsky, H. J. et A. Christopoulos (2003). Fitting models to biological data
using linear and nonlinear regression. A practical guide to curve fitting.
GraphPad Software Inc., San Diego, www.graphpad.com.
34. Monitoring the AIDS Pandemic Network (2004). AIDS in Asia: face the facts - a
comprehensive analysis of the AIDS epidemics in Asia.
www.mapnetwork.org/docs/MAP_AIDSinAsia2004.pdf.
35. Bureau national des statistiques de Chine (1994-2003). China Population
Statistics Yearbook. China Statistic Press, P\acute{e}kin.
36. Office régional de l'OMS pour le Pacifique ouest et Ministère de la santé de
la République populaire de Chine (2001). Prevalence survey of sexually
transmitted infections among female sex workers and truck drivers in China
1999-2000. www.wpro.who.int.
37. Pan, S., H. Cheng, J. Zhang, M. Jia, X. Bi, Y. Zhang, X. Zhang, J. An, Y. Ma,
Z. Yang, Y. Liang et J. Kou (1997). Survey of the current situation of the
HIV infection epidemic in Yunnan province. Chin. J. STD/AIDS Prev. Cont. 3,
244-247.
38. Pugliese, A. (1992). Stationary solutions of a multigroup model for AIDS with
distributed incubation and variable infectiousness, in G. Da Prato (Ed),
Mathematical aspects of human diseases, Giardini, Pise, p. 110-125.
39. Razak, M.H. (2002). Situation assessment of injection drug users in Yunnan
province - People's Republic of China. Futures Group Europe Report.
40. Thieme, H. et C. Castillo-Chavez (1989). On the role of variable infectivity
in the dynamics of the human immunodeficiency virus epidemic, in C.
Castillo-Chavez (Ed), Mathematical and statistical approaches to AIDS
epidemiology, Springer-Verlag, New York, p. 157-177.
41. Thieme, H. et C. Castillo-Chavez (1993). How may infection-age-dependent
infectivity affect the dynamics of HIV/AIDS? SIAM J. Appl. Math. 53,
1447-1479.
42. Thieme, H. (2003). Mathematics in Population Biology. Princeton University
Press, Princeton.
43. UN Theme Group on HIV/AIDS in China (2002). HIV/AIDS: China's Titanic Peril.
www.youandaids.org/unfiles/chinastitanicperillast.pdf.
44. UN Theme Group on HIV/AIDS in China et State Council AIDS Working Committee
Office (2004). A Joint Assessment of HIV/AIDS Prevention, Treatment and Care
in China. www.unchina.org/unaids/JAREng04.pdf.
45. Wang, S., L. Li, L. Zhang, Z. Ni et L. Yang (2001). Surveillance and analysis
of HIV/AIDS in Kunming in 1999. Guangxi Prev. Med. 7, 157-158.
46. Wang, S. (2004). Surveillance and control of HIV/AIDS in Kunming. Chin. J.
STD/AIDS Prev. Cont. 10, 216-217.
47. Yu, H., X. An, M. Jia, S. Pan, Y. Ma, G. Zhang, H. Li, X. Zhang, Y. Zhang, Y.
Liang, J. Li, J. Zhang et H. Cheng (2001). Report on HIV/AIDS surveillance in
Yunnan province in 1999. Chin. J. STD/AIDS Prev. Cont. 7, 74-76.
48. Yuan, J., G. Ionita, Y. Xu, T. Jiang, J. Li et J. Zhang (2002). The HIV/AIDS
projection in Yunnan. Chin. J. STD/AIDS Prev. Cont. 8, 78-81.
49. Zhang, J., H. Cheng et S. Duan (1994). Survey of the current situation of the
HIV infection epidemic in Yunnan province. Chin. J. Epidemiol. 5, 259-262.
50. Zhang, J., H. Cheng, M. Jia et Y. Zhang (1999). Ten years of experience on
AIDS control in Yunnan (1989-1998). Chin. J. Epidemiol. 20, 377-380.
51. Zhang, X., Y. Ma, H. Yu, J. An, Y. Liang, G. Zhang, Z. Zhang, H. Li, W. Wang,
S. Pan, Y. Zhang et M. Jia (2002). Analysis on the surveillance result of
HIV/AIDS in Yunnan in 2001. Ji Bing Jian Ce 17, 327-330.
52. Zhang, X., J. Lu, L. Fu, H. Luo et M. Jia (2004). Analysis on survey results
of HIV/AIDS in Yunnan Province in 2003. Ji Bing Jian Ce 19, 409-412.
53. Zheng, X., J. Zhang, X. Wang, S. Duan, S. Qu, Y. Duan et G. Zhang (2000). The
natural history of HIV infection among IDUs in Ruili, Yunnan province, China.
Chin. J. Epidemiol. 21, 17-18.
54. Zhong, W. (2000). A close look at China's ``sex industry''. Lianhe Zaobao,
Singapour, www.usembassy-china.org.cn/sandt/sex-industry.html.
Usage: http://www.kk-software.de/kklynxview/get/URL
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