Le comportement asymptotique de l'équation de McKendrick avec immigration

                    Mathematical Population Studies 10 (2003) 1-20

                                    Nicolas Bacaër

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    Résumé

   L'objectif de cet article est de discuter de l'influence de l'immigration dans un
   modèle mathématique pour l'évolution de la structure par âge de la population.
   Dans le cas sous-critique, la structure par âge converge vers un état
   stationnaire. On présente un programme qui simule le modèle et qui est utilisé
   pour des projections pour la population de la France. On insiste aussi sur le
   lien avec un modèle plus complexe.
   Mots clés : démographie, structure de la population, immigration, équations aux
   dérivées partielles, transformation de Laplace

1.   Introduction

       On divise une population en K sous-populations (\(K\geq 1\)). Les variables x
   et t représentent l'âge et le temps.
     * \(P_k(x,t)\,\) est la densité de la sous-population k d'âge x au temps t.
     * \(\,M_k(x)\geq 0\) représente l'arrivée d'individus d'âge x qui entrent dans
       la sous-population k et proviennent d'une autre population.
     * \(B_{k,l}(x)\geq 0\,\) est la fertilité des individus de la sous-population l
       qui donnent naissance à des individus de type k.
     * \(P_k^0(x)\,\) est la structure initiale par âge de la sous-population k.

   On définit \[P(x,t)=(P_k(x,t))_{1\leq k\leq K},\quad M(x)=(M_k(x))_{1\leq k\leq
   K},\quad B(x)=(B_{k,l}(x))_{1\leq k,l\leq K}, \quad P^0(x)=(P_k^0(x))_{1\leq k
   \leq K}.\] On suppose \(B(x)=0\,\) pour tout x suffisamment grand. \(d_k(x)\geq
   0\,\) est le taux auquel les individus de la sous-population k quittent la
   population. Pour k!=l, \(\tau_{k,l}(x)\geq 0\) est le taux de transfert des
   individus de la sous-population l vers la sous-population k. On définit
   \begin{align*} \Delta_{k,k}(x)&=d_k(x)+\sum_{l\neq k} \tau_{l,k}(x),\quad 1\leq
   k\leq K,\\ \Delta_{k,l}(x)&=-\tau_{k,l}(x),\quad k \neq l, \end{align*} et
   \(\Delta(x)=(\Delta_{k,l}(x))_{1\leq k,l\leq K}\). \(P(x,t)\) est l'unique
   solution des équations de McKendrick \begin{align} &\frac{\partial P}{\partial
   t}+\frac{\partial P}{\partial x}+\Delta(x) P(x,t) = M(x),\quad \forall t >
   0,\quad \forall x > 0, \tag{1}\\ &P(0,t)=\int_0^\infty B(x) P(x,t) dx,\quad
   \forall t > 0, \tag{2}\\ &P(x,0)=P^0(x),\quad \forall x > 0. \tag{3} \end{align}
   De plus, \(P(x,t)\geq 0\ \forall (x,t) \in [0,+\infty[ \times [0,+\infty[\).
   Considérons la matrice \[\hat{G}(0)=\int_0^\infty B(x)\, S(0,x)\, dx,\] avec
   \[\frac{\partial S}{\partial x}(\xi,x)=-\Delta(x) S(\xi,x),\quad \forall x >
   \xi\] et \(S(\xi,\xi)=I\,\) (la matrice identité de taille K). On suppose que le
   rayon spectral r de \(\,\hat{G}(0)\) est strictement inférieur à 1. On définit
   \begin{align*} L&=\int_0^\infty B(x) \int_0^x S(u,x) M(u)\, du\, dx,\\
   R&=(I-\hat{G}(0))^{-1} L. \end{align*} On a alors \begin{equation}\tag{4} P(x,t)
   \mathop{\longrightarrow}_{t \to +\infty} S(0,x) R+\int_0^x S(u,x) M(u)\, du,
   \quad \forall x\geq 0. \end{equation} Autrement dit, la pyramide des âges
   \(x\mapsto P_k(x,t)\) converge vers un état stationnaire si \(t\to +\infty\).

       Ces résultats sont démontrés dans la section 2. L'étude du comportement
   asymptotique de \(\,P(x,t)\) revient à celle d'une équation intégrale
   \[\Phi(t)=F(t)+\int_0^t G(x) \Phi(t-x)\, dx,\quad t > 0.\] \(F(t)\) et \(G(x)\,\)
   sont des fonctions connues. Ce problème a été étudié par Lotka (1939) dans le cas
   d'une équation (\(K=1\)). Pour un système d'équations (K>1), Bellman et Cooke
   (1963) ont étudié le cas où \(\,\int_0^\infty G(x)\, dx\,\) est une matrice
   irréductible (au sens de la théorie de Perron et Frobenius des matrices
   positives). Crump (1970 et 1971) a étudié le cas réductible. Ces études se sont
   focalisées sur le cas où \(\,F(t)\to 0\) si \(t \to \infty\). Dans notre modèle,
   le terme inhomogène de migration dans les équations de McKendrick implique que
   \(F(t)\) a une limite non nulle si \(t \to \infty\). Si l'on soustrait l'état
   stationnaire, le problème inhomogène se réduit à un problème homogène, pour
   lequel on peut appliquer les résultats sur l'existence et le comportement
   asymptotique. On propose néanmoins ci-dessous une démonstration pour obtenir le
   second résultat \(\,(P(x,t)\geq 0)\,\) et parce que la démonstration est assez
   simple avec l'hypothèse sous-critique r t,
   \end{equation} \begin{equation}\tag{6} P(x,t)=S(0,x)P(0,t-x) + \int_0^x S(u,x)
   M(u)\, du, \quad \forall x < t. \end{equation} On définit \(\,\Phi(t)=P(0,t)\).
   On a \[\Phi(t)=\int_0^t B(x) P(x,t)\, dx + \int_t^\infty B(x) P(x,t)\, dx,\quad t
   > 0.\] Il résulte des formules obtenues pour x>t et x \xi_0.\]
   C'est la transformée de Laplace de F. On définit \(\,\xi_0(F)\) et \(\xi_0(G)\)
   de la même manière. \(B(x)\) est une fonction dont le support est compact.
   \(G(x)\) est donc aussi une fonction avec un support compact et
   \(\xi_0(G)=-\infty\). On a donc \[ \hat{\Phi}(z)=\hat{F}(z)+\hat{G}(z)
   \hat{\Phi}(z), \quad \forall z \in \mathbb{C}, \ \mathrm{Re}(z) > \max
   \{\xi_0(\Phi),\xi_0(F)\}.\] \(I\,\) est la matrice identité de taille K. On a
   alors \[(I-\hat{G}(z))\hat{\Phi}(z)=\hat{F}(z).\] On prend \(z\in \mathbb{C}\)
   avec \(\xi=\mathrm{Re}(z) > 0\). On a \[|\hat{G}_{k,l}(z)| \leq
   \hat{G}_{k,l}(\xi) \leq \hat{G}_{k,l}(0),\quad \forall 1\leq k,l\leq K.\] D'après
   Horn et Johnson (1985, §8.1.18 et 8.1.19), on a pour les rayons spectraux
   correspondants \[\rho(\hat{G}(z)) \leq \rho(\hat{G}(\xi)) \leq \rho(\hat{G}(0)) <
   1,\] et \(I- \hat{G}(z)\,\) est inversible. On a ainsi
   \[\hat{\Phi}(\lambda)=(I-\hat{G}(z))^{-1} \hat{F}(z),\quad \forall z \in
   \mathbb{C}, \ \mathrm{Re}(z) > \max \{\xi_0(\Phi),\xi_0(F)\}.\] On prend la
   transformée de Laplace inverse. On obtient pour tout nombre réel \(\,\xi > \max
   \{\xi_0(\Phi),\xi_0(F),0\}\) et \(\forall t > 0\), \begin{equation}\tag{9}
   \Phi(t)=\frac{1}{2\pi i} \lim_{\eta \to \infty} \int_{\xi-i\eta}^{\xi+i\eta}
   e^{zt} (I-\hat{G}(z))^{-1} \hat{F}(z)\, dz. \end{equation} On définit
   \(X=\sup\{x\geq 0;\ \exists k,l,\ B_{k,l}(x) > 0\}\). La formule (8) donne
   \[F(t)=L=\int_0^\infty B(x) \int_0^x S(u,x) M(u)\, du\, dx, \quad \forall \,
   t\geq X.\] Avec \(z \in \mathbb{C}\) et \(\mathrm{Re}(z) > 0\),
   \[\hat{F}(z)=\int_0^X e^{-zt} F(t)\, dt + \frac{e^{-zX}}{z}\, L\, .\]

       Si L!=0, alors z=0 est le pôle de \(\,\hat{F}\,\) avec la partie réelle la
   plus grande, et L est le résidu en z=0. Ainsi z=0 est aussi le pôle de
   \(\,(I-\hat{G}(z))^{-1} \hat{F}(z)\) avec la partie réelle la plus grande et
   \(R=(I-\hat{G}(0))^{-1} L\,\) est le résidu en z=0. La formule des résidus
   appliquée à (9) donne \[\Phi(t) \mathop{\longrightarrow}_{t \to \infty} R.\] Ceci
   reste vrai si L=0, car alors tous les pôles de \(\,(I-\hat{G}(z))^{-1}
   \hat{F}(z)\,\) sont dans le demi-plan gauche du plan complexe. \(\Phi(t)\)
   converge donc vers 0 si \(t \to \infty\). Dans tous les cas, il résulte de (6)
   \begin{equation}\tag{10} P(x,t) \mathop{\longrightarrow}_{t \to \infty} S(0,x) R
   + \int_0^x S(u,x) M(u)\, du, \quad \forall \, x\geq 0. \end{equation} C'est le
   troisième résultat.

3.   Exemples

       Les exemples dans cette section sont conçus pour représenter des populations
   humaines: \(M_k(x)\) est l'immigration et \(d_k(x)\,\) la mortalité. S'il y a de
   l'émigration, seul change \(\,d_k(x)\).

  Premier exemple

       La population est divisée entre hommes (k=1) et femmes (k=2). On suppose
   \[\Delta= \left (\begin{array}{ll} d_1 & 0\\ 0 & d_2 \end{array} \right ),\quad
   B= \left (\begin{array}{ll} 0 & B_{1,2}\\ 0 & B_{2,2} \end{array} \right ),\quad
   M= \left (\begin{array}{l} M_1 \\ M_2 \end{array} \right ),\] ce qui signifie que
   le nombre de naissances dépend du nombre de femmes mais pas du nombre d'hommes.
   Pour simplifier les formules, supposons que \(\,B_{1,2}(x)=B_{2,2}(x)=b(x)\).
   Cette hypothèse signifie que les probabilités pour un nouveau-né d'être un garçon
   ou une fille sont égales (en pratique, c'est presque vrai).

       Parce que B est une matrice triangulaire supérieure, \(\,\hat{G}(0)\,\) a la
   même structure. Donc le rayon spectral est \[\rho(\hat{G}(0))=\int_0^\infty
   b(x)\, e^{-\int_0^x d_2(u)\, du}\, dx.\] On suppose \(\rho(\hat{G}(0)) < 1\). Le
   vecteur R se calcule facilement: \[R_1=R_2=\frac{\int_0^\infty b(x) \int_0^x
   e^{-\int_u^x d_2(v)\, dv} M_2(u)\, du\, dx}{1-\int_0^\infty b(x)\, e^{-\int_0^x
   d_2(u)\, du} dx}\, .\] On a alors \(\, \forall x\geq 0\), \begin{align*}
   &P_1(x,t) \mathop{\longrightarrow}_{t \to \infty} e^{-\int_0^x d_1(u)\, du} R_1 +
   \int_0^x e^{-\int_u^x d_1(v)\, dv} M_1(u)\, du,\\ &P_2(x,t)
   \mathop{\longrightarrow}_{t \to \infty} e^{-\int_0^x d_2(u)\, du} R_2 + \int_0^x
   e^{-\int_u^x d_2(v)\, dv} M_2(u)\, du. \end{align*}

  Deuxième exemple

       La population est divisée entre les hommes nés dans le pays (k=1), les femmes
   nées dans le pays (k=2) et les immigrés de première génération, hommes (k=3) ou
   femmes (k=4). On suppose \[\Delta= \left (\begin{array}{llll} d_1 & 0 & 0 & 0\\ 0
   & d_2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & d_3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & d_4 \end{array} \right ),\quad B=
   \left (\begin{array}{llll} 0 & B_{1,2} & 0 & B_{1,4}\\ 0 & B_{2,2} & 0 &
   B_{2,4}\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ),\quad M= \left
   (\begin{array}{l} 0\\ 0\\ M_1 \\ M_2 \end{array} \right ),\] ce qui signifie que
   les femmes immigrées donnent naissance à des enfants du pays, avec un taux
   différent de celui des femmes nées dans le pays. Supposons aussi que
   \(\,B_{1,2}=B_{2,2}=b_2\) et \(B_{1,4}=B_{2,4}=b_4\). Parce que B et
   \(\,\hat{G}(0)\) sont des matrices triangulaires supérieures,
   \[\rho(\hat{G}(0))=\int_0^\infty b_2(x)\, e^{-\int_0^x d_2(u)\, du}\, dx.\]
   \(\rho(\hat{G}(0))\) ne dépend pas de \(b_4\). Dans ce modèle, un taux de
   fertilité élevé pour les immigrés ne peut changer une situation sous-critique en
   une situation surcritique (\(\rho(\hat{G}(0)) > 1\)). On suppose
   \(\,\rho(\hat{G}(0)) < 1\). Le vecteur R se calcule encore facilement: \[R_1=R_2=
   \frac{\int_0^\infty b_4(x) \int_0^x e^{-\int_u^x d_4(v)\, dv} M_4(u)\, du\,
   dx}{1-\int_0^\infty b_2(x)\, e^{-\int_0^x d_2(u)\, du} dx}\, ,\quad R_3=R_4=0.\]
   On a alors \(\, \forall x\geq 0\), \begin{align*} &P_1(x,t)
   \mathop{\longrightarrow}_{t \to \infty} e^{-\int_0^x d_1(u)\, du} R_1 ,\\
   &P_2(x,t) \mathop{\longrightarrow}_{t \to \infty} e^{-\int_0^x d_2(u)\, du} R_2
   \\ &P_3(x,t) \mathop{\longrightarrow}_{t \to \infty} \int_0^x e^{-\int_u^x
   d_3(v)\, dv} M_3(u)\, du,\\ &P_4(x,t) \mathop{\longrightarrow}_{t \to \infty}
   \int_0^x e^{-\int_u^x d_4(v)\, dv} M_4(u)\, du. \end{align*} Notez que ce
   deuxième exemple redonne le premier exemple si \(d_1=d_3\), \(d_2=d_4\) et
   \(b_2=b_4\,\), c'est-à-dire si les immigrés de première génération suivent
   immédiatement les taux de fertilité et de mortalité locaux. En effet,
   \(\,P_1+P_3\) remplace \(P_1\) et \(P_2+P_4\) remplace \(P_2\).

  Troisième exemple

       La population est divisée en nationaux, hommes (k=1) ou femmes (k=2), et
   étrangers, hommes (k=3) ou femmes (k=4). On suppose \[\Delta= \left
   (\begin{array}{llll} d_1 & 0 & -\tau_{1,3} & 0\\ 0 & d_2 & 0 & \tau_{2,4}\\ 0 & 0
   & d_3+\tau_{1,3} & 0\\ 0 & 0 & 0 & d_4+\tau_{2,4} \end{array} \right ),\quad B=
   \left (\begin{array}{llll} 0 & B_{1,2} & 0 & 0\\ 0 & B_{2,2} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0
   & B_{3,4}\\ 0 & 0 & 0 & B_{4,4} \end{array} \right ),\quad M= \left
   (\begin{array}{l} 0\\ 0\\ M_3 \\ M_4 \end{array} \right ),\] ce qui signifie que
   les femmes étrangères donnent naissance à des enfants étrangers, mais les
   étrangers peuvent changer de nationalité (ils sont transférés de la
   sous-population 3 ou 4 vers les sous-populations 1 ou 2). Pour simplifier, on
   suppose \(\,d_1=d_3\) et \(d_2=d_4\) : la mortalité des étrangers est la même que
   celle des nationaux. On suppose aussi \(\,B_{1,2}=B_{2,2}=b_2\) et
   \(B_{3,4}=B_{4,4}=b_4\). On a alors \[S(0,x)=\left (\begin{array}{cccc}
   S_{1,1}(0,x) & 0 & S_{1,3}(0,x) & 0\\ 0 & S_{2,2}(0,x) & 0 &S_{2,4}(0,x)\\ 0 & 0
   & S_{3,3}(0,x) & 0\\ 0 & 0 & 0 & S_{4,4}(0,x) \end{array} \right ) \] avec \[
   S_{1,1}(y,x)=e^{-\int_y^x d_1(u)\, du},\quad S_{2,2}(y,x)=e^{-\int_y^x d_2(u)\,
   du},\] \[ S_{3,3}(y,x)=e^{-\int_y^x [d_1(u)+\tau_{1,3}(u)]\, du},\quad
   S_{4,4}(y,x)=e^{-\int_y^x [d_2(u)+\tau_{2,4}(u)]\, du}, \] et \begin{align*}
   S_{1,3}(y,x)&=e^{-\int_y^x d_1(u)\, du} + \int_y^x \tau_{1,3}(z) \, e^{-\int_z^x
   d_1(u)\, du -\int_y^z [d_1(u)+\tau_{1,3}(u)] du} dz,\\ S_{2,4}(y,x)&=e^{-\int_y^x
   d_2(u)\, du} + \int_y^x \tau_{2,4}(z) \, e^{-\int_z^x d_2(u)\, du -\int_y^z
   [d_2(u)+\tau_{2,4}(u)] du} dz. \end{align*} On a ainsi \[\hat{G}(0)=\left
   (\begin{array}{cccc} 0 & \int_0^\infty b_2(x) \, S_{2,2}(x)\, dx& 0&
   \int_0^\infty b_2(x)\, S_{2,4}(x)\, dx\\ 0 & \int_0^\infty b_2(x) \, S_{2,2}(x)\,
   dx& 0& \int_0^\infty b_2(x) \, S_{2,4}(x)\, dx\\ 0 & 0& 0& \int_0^\infty b_4(x)\,
   S_{4,4}(x)\, dx\\ 0 & 0& 0& \int_0^\infty b_4(x)\, S_{4,4}(x)\, dx \end{array}
   \right )\] \(\hat{G}(0)\) est une matrice triangulaire supérieure,
   \[\rho(\hat{G}(0))=\max \left \{ \int_0^\infty b_2(x)\, e^{-\int_0^x d_2(u)\,
   du}\ ;\ \int_0^\infty b_4(x)\, e^{-\int_0^x [d_2(u)+\tau_{2,4}(u)]\, du} \right
   \}. \] On suppose \(\rho(\hat{G}(0)) < 1\). Le vecteur R se calcule encore
   aisément. On définit \begin{align*} L_2&=\int_0^\infty b_2(x) \int_0^x
   S_{2,4}(y,x) M_4(y)\, dy \, dx\\ L_4&=\int_0^\infty b_4(x) \int_0^x S_{4,4}(y,x)
   M_4(y)\, dy \, dx. \end{align*} On a \(L=(L_2,\, L_2,\, L_4,\, L_4)\) et
   \begin{align*}
   &R_1=R_2=\frac{L_2+\hat{G}_{2,4}(0)L_4/(1-\hat{G}_{4,4}(0))}{1-\hat{G}_{2,2}(0)},
   \quad R_3=R_4=\frac{L_4}{1-\hat{G}_{4,4}(0)}\, . \end{align*} Enfin, on a \(\,
   \forall x\geq 0\), \begin{align*} P_1(x,t) \mathop{\longrightarrow}_{t \to
   \infty} &S_{1,1}(0,x)R_1+S_{1,3}(0,x) R_3+\int_0^x S_{1,3}(u,x)\, M_3(u)\, du\\
   P_2(x,t) \mathop{\longrightarrow}_{t \to \infty} &S_{2,2}(0,x)R_2+S_{2,4}(0,x)
   R_4+\int_0^x S_{2,4}(u,x)\, M_4(u)\, du\\ P_3(x,t) \mathop{\longrightarrow}_{t
   \to \infty} &S_{3,3}(0,x)R_3+\int_0^x S_{3,3}(u,x)\, M_3(u)\, du\\ P_4(x,t)
   \mathop{\longrightarrow}_{t \to \infty} &S_{4,4}(0,x)R_4+\int_0^x S_{4,4}(u,x)\,
   M_4(u)\, du. \end{align*} Notons que ce troisième exemple se réduit au premier
   exemple si \(\tau_{1,3}=\tau_{1,2}=0\,\), c'est-à-dire si les sous-populations
   {1,2} et {3,4} ne se mélangent pas.

4.   Un logiciel

       Pour illustrer cette étude, on a écrit un programme qui tourne dans
   l'environnement Scilab, un logiciel libre de calcul numérique disponible à
   l'adresse www-rocq.inria.fr/scilab. Le programme, nommé census.sci, se trouve
   avec les fichiers qui contiennent les données pour la France à l'adresse
   www.ann.jussieu.fr/~bacaer/Prog/Immigration/immigration/immigration.html. Il
   résout le système d'équations aux dérivées partielles en utilisant la méthode des
   différences finies. On choisit \(\,\delta t > 0\) et \(\delta x > 0\).
   \(P_k^{i,j}\,\) est la valeur de \(\,P_k(x,t)\) si \(x=i\, \delta x\) et \(t=j\,
   \delta t\). On utilise des notations similaires pour \(\,\Delta_{k,l}\), \(M_k\),
   \(B_{k,l}\) et \(P_k^0\). On a alors \[P_k^{i,0}=(P_k^0)^i,\quad \forall i\geq
   0,\] \[P_k^{0,j+1}=\sum_{l=1}^K \sum_{i=0}^\infty B_{k,l}^i P_l^{i,j},\quad
   \forall j\geq 0,\] \[\frac{P_{k}^{i,j+1}-P_k^{i,j}}{\delta t} +
   \frac{P_k^{i,j}-P_k^{i-1,j}}{\delta x} + \sum_{l=1}^K \Delta_{k,l}^i P_l^{i,j} =
   M_k^i,\quad \forall i\geq 1,\quad \forall j\geq 1.\] Notez les discrétisations,
   progressive par rapport au temps et rétrograde par rapport à l'âge. Les équations
   sont en fait des équations d'advection, donc on doit tenir compte de la direction
   des courbes caractéristiques pour avoir un schéma qui converge. La condition
   \(\,\delta t\leq \delta x\,\) doit aussi être respectée. Dans le programme, on a
   toujours pris \(\,\delta x\,\) égal à une année.

  Explication

       La syntaxe est la suivante:

     \(\text{census(X,K,annees,gauche,droit,pfichiers,bindices,dindices,dfichiers,m
     indices,mfichiers)}\).

   Définitions:
     * X,K: entiers positifs
     * \(\text{annees}\): vecteur d'entiers positifs ou nuls
     * \(\text{gauche}\),\(\text{droit}\): K matrices colonnes de nombres réels
     * \(\text{pfichiers}\), \(\text{bfichiers}\), \(\text{dfichiers}\),
       \(\text{mfichiers}\): vecteurs de chaînes de caractères
     * \(\text{bindices}\), \(\text{dindices}\): deux matrices colonnes d'entiers
       positifs \(\leq K\)
     * \(\text{mindices}\): vecteur d'entiers positifs \(\leq K\).

   Signification:
     * X: âge maximum
     * K: nombre de sous-populations
     * \(\text{annees}\): temps auxquels la population sera dessinée
     * \(\text{gauche}\), \(\text{droite}\): les lignes de gauche (resp. de droite)
       définissent les combinaisons linéaires de \((P_1,\ldots,P_K)\,\), qui sont
       représentées à gauche (resp. à droite) dans la figure
     * \(\text{pfichiers}\), \(\text{bfichiers}\), \(\text{dfichiers}\),
       \(\text{mfichiers}\): noms de fichiers qui contiennent les données; ces
       fichiers sont des vecteurs colonnes
     * \(\text{bindices}\), \(\text{dindices}\): les lignes de ces matrices donnent
       les indices (ligne et colonne) des coefficients non nuls des matrices B et D,
       dont la valeur est donnée dans \(\,\text{bfichiers}\) et
       \(\text{dfichiers}\). Le nombre de lignes de \(\,\text{bindices}\) (resp.
       \(\text{dindices}\)) est ainsi égal à la longueur du vecteur
       \(\text{bfichiers}\) (resp. \(\text{dfichiers}\))
     * \(\text{mindices}\): indices des coefficients non nuls du vecteur M. La
       valeur est dans \(\,\text{mfichiers}\).

  Premier exemple

       Comme données initiales pour les populations masculines et féminines, on
   prend les résultats du recensement de 1999 en France. Les taux de fertilité et de
   mortalité sont calculés avec les données de la même année (Beaumel, Doisneau et
   Vatan, 2001): voir la figure 1(a). Si l'immigration est nulle, alors

     \(\text{census(99,2,[0 25 50 75 100],[1 0],[0 1],['male.dat' 'female.dat',[1
     2;2 2],['malebirth.dat' 'femalebirth.dat'],}\) \(\text{[1 1; 2
     2],['maledeath.dat', 'femaledeath.dat'],[],[])}\)

   donne la figure 1(b), où la population finit par converger vers 0, mais assez
   lentement. [2003MPSFig1a.png] [2003MPSFig1b.png] Figure 1. Sans immigration. (a)
   Naissances totales: \(\,x\mapsto B_{1,2}(x)+B_{2,2}(x)\). Mortalités:
   \(\,x\mapsto d_1(x)\) et \(x\mapsto d_2(x)\). (b) À gauche: \(\,P_1(x,t)\). À
   droite: \(\,P_2(x,t)\). Ligne continue: situation en 1999. Lignes en pointillé:
   projections après 25, 50, 75 et 100 ans.

       On inclut désormais l'immigration \(M(x)\). Dinh (1994) a calculé
   \(\,M(x)\,\) en utilisant les résultats de deux recensements consécutifs et les
   données sur les naissances et les morts entre ces deux recensements. La méthode a
   donné des résultats raisonnables jusqu'aux années 1980. Mais entre 1990 et 1999,
   l'immigration totale était du même ordre que les erreurs sur les recensements, de
   sorte que les calculs ne donnent pas de résultat raisonnable. Une autre méthode
   consiste à utiliser les données annuelles de l'Office des migrations
   internationales (1999), qui sont résumées dans la figure 2(a). L'immigration
   totale est la somme des travailleurs immigrés, des immigrés qui ont obtenu une
   carte de séjour, et des immigrés dans le cadre du regroupement familial. On a
   trouvé des données par âge pour les immigrés qui ont obtenu une carte de séjour
   (d'où la fonction en escalier dans la figure 2(a)), mais pas pour les adultes
   dans le cadre du regroupement familial. Pour les calculs, seules les courbes
   extérieures de la figure 2(a) sont utiles. Alors l'instruction

     \(\text{census(99,2,[0 25 50 75 100],[1 0],[0 1],['male.dat' 'female.dat'],[1
     2; 2 2],['malebirth.dat' 'femalebirth.dat'],}\) \(\text{[1 1; 2
     2],['maledeath.dat' 'femaledeath.dat'],[1 2],['maleimmigrant.dat'
     'femaleimmigrant.dat']);}\)

   produit la figure 2(b). La structure de la population converge lentement vers un
   état stationnaire avec une population totale petite (non représentée dans la
   figure). [2003MPSFig2a.png] [2003MPSFig2b.png] Figure 2. Influence de
   l'immigration. (a) Immigration totale et ses 3 composantes. À gauche:
   \(\,x\mapsto M_1(x)\). À droite: \(\,x\mapsto M_2(x)\). (b) À gauche:
   \(\,P_1(x,t)\). À droite: \(\,P_2(x,t)\). Ligne continue: situation en 1999. En
   pointillé: projections après 25, 50, 75 et 100 ans.

       Ce type de modèle (avec \(K=2\)) est semblable aux versions discrètes
   utilisées par l'INSEE (Brutel, 2001). Il est facile de critiquer ce modèle. D'un
   côté, on utilise des chiffres d'immigration assez faibles. D'un autre côté, on
   utilise les données actuelles pour calculer le taux de naissances. Actuellement,
   ce taux est assez élevé. C'est dû en partie au pourcentage élevé d'immigrés dans
   la population et au fait que les immigrés ont des taux de fertilité plus élevés
   que les Français. Ceci nous conduit aux deux modèles suivants.

  Deuxième exemple

       Comme données initiales pour les populations masculines et féminines nées en
   France ou immigrées, on prend les résultats du recensement de 1999 (INSEE, 2001).
   On utilise le même profil d'immigration que dans le premier exemple. Pour estimer
   les taux de fertlité, on suppose qu'il existe un nombre \(\,\varepsilon > 0\)
   avec \(B_{1,4}(x)=(1+\varepsilon)B_{1,2}(x)\) et
   \(B_{2,4}(x)=(1+\varepsilon)B_{2,2}(x)\,\) pour tout x. On connaît le nombre
   total d'enfants nés de mère étrangère (qui forment plus ou moins un sous-ensemble
   des femmes immigrées) et aussi le nombre de femmes étrangères. On obtient
   \(\,\varepsilon=\mbox{0,6}\). Alors

     \(\text{census(99,4,[0 25 50 75 100],[0 0 1 0],[0 0 0 1],['malenative.dat'
     'femalenative.dat' 'maleimmigrate.dat' 'femaleimmigrate.dat'],}\) \(\text{[1
     2; 2 2; 1 4; 2 4],['malenativemother.dat' 'femalenativemother'
     'maleimmigratemother.dat' 'femaleimmigratemother.dat'],}\) \(\text{[1 1; 2 2;
     3 3; 4 4],['maledeath.dat' 'femaledeath.dat' 'maledeath.dat'
     'femaledeath.dat'],}\) \(\text{[3 4],['maleimmigrant.dat'
     'femaleimmigrant.dat']);}\)

   produit la figure 3 pour la pyramides des âges des immigrés. La pyramide converge
   rapidement (après 100 ans) vers un état stationnaire. [2003MPSFig3.png] Figure 3.
   Personnes nées en France et immigrés avec des taux de fertilité différents. À
   gauche: \(\,P_3(x,t)\) (hommes immigrés). À droite: \(\,P_4(x,t)\) (femmes
   immigrées).

  Troisième exemple

       Comme donnée initiale pour la population masculine et féminine de nationalité
   française et celle étrangère, on prend les résultats du recensement de 1999
   (INSEE, 2001). On utilise le même profil d'immigration que dans le premier
   exemple. Pour estimer les taux de fertlité, on suppose encore qu'il existe un
   nombre \(\,\varepsilon > 0\) avec \(B_{3,4}(x)=(1+\varepsilon)B_{1,2}(x)\) et
   \(B_{4,4}(x)=(1+\varepsilon)B_{2,2}(x)\,\) pour tout x. Connaissant le nombre
   total d'enfants nés de mère étrangère, on obtient \(\varepsilon=\mbox{0,56}\).
   Pour les taux de changement de nationalité, on suppose que
   \(\,\tau_{1,3}(x)=\tau_{2,4}(x)=\tau(x)\). Avec les données du Ministère de la
   justice (2001), on a une estimation de \(\,\tau(x)\). Voir figure 4(a). Cette
   estimation fait la somme des contributions de trois types de procédure, également
   représentées dans la figure 4(a): sans formalité ou par anticipation (enfants
   étrangers nés en France qui deviennent citoyens à 18 ans), par décret (étrangers
   ayant vécu longtemps en France et leurs enfants) et par déclaration (mariage avec
   un citoyen français). Dans tous les cas où la structure par âge n'est donnée que
   par groupe d'âges, on a utilisé des fonctions en escalier comme approximation.
   Alors l'instruction

     \(\text{census(99,4,[0 25 50 75 100],[0 0 1 0],[0 0 0 1],['malefrench.dat'
     'femalefrench.dat' 'maleforeign.dat' 'femaleforeign.dat'],}\) \(\text{[1 2; 2
     2; 3 4; 4 4],['malefrenchmother.dat' 'femalefrenchmother.dat'
     'maleforeignmother.dat' 'femaleforeignmother.dat'],}\) \(\text{[1 1; 1 3; 2 2;
     2 4; 3 3; 4 4],['d11.dat' 'd13.dat' 'd22.dat' 'd24.dat' 'd33.dat'
     'd44.dat'],[3 4],}\) \(\text{['maleimmigrant.dat' 'femaleimmigrant.dat']);}\)

   produit la figure 4(b) pour la pyramides des âges des étrangers. La pyramide
   converge après 100 ans vers un état stationnaire. [2003MPSFig4a.png]
   [2003MPSFig4b.png] Figure 4. Français et étrangers avec des fertilités
   différentes. (a) Obtention de la nationalité française. Taux de transfert
   \(\,\tau(x)\,\) et les 3 composantes. (b) À gauche: \(\,P_3(x,t)\,\) (hommes
   étrangers). À droite: \(\,P_4(x,t)\,\) (femmes étrangères).

  Comparaison

       Pour comparer les différents modèles, la figure 5 montre les projections pour
   la population totale. La courbe la plus basse est celle sans immigration. La
   courbe la plus haute est celle avec immigration mais sans différence de fertilité
   (premier exemple). Les deux courbes très proches intermédiaires correspondent au
   deuxième et au troisième exemple, où les personnes nées en France (resp. les
   citoyens français) sont distinguées des immigrés (resp. des étrangers). La
   différence pour la population totale entre ces deux derniers modèles et le
   premier exemple avec immigration est d'environ 0,7 million après 50 ans et
   d'environ 2,5 millions après 100 ans.
   [2003MPSFig5.png] Figure 5. Projections pour la population totale (en millions)
   sous différentes hypothèses.

5.   Lien avec un modèle plus complexe

       Arino et Smith (1998) ont étudié un modèle plus complexe avec une variable de
   plus, qui se généralise de la manière suivante. Chacune des K sous-populations
   est divisée en deux:
     * il y a les individus qui sont dans cette sous-population depuis leur
       naissance. \(Q_k(x,t)\) est leur densité.
     * des individus qui ont été dans une autre sous-population avant.
       \(\,R_k(x,y,t)\,\) est la densité de ces individus d'âge x au temps t, qui
       sont dans la sous-population k depuis y années (y