Sur la probabilité d'extinction d'une population dans un environnement périodique lent

    N. Bacaër, C. Lobry, T. Sari: Sur la probabilité d'extinction d'une population
        dans un environnement périodique lent. Revue ARIMA 32 (2020) p. 81-95.
                       [1]https://arima.episciences.org/6879/pdf

              Nicolas Bacaër\(^1\), Claude Lobry\(^2\), Tewfik Sari\(^3\)

   \(^1\) Unité de modélisation mathématique et informatique des systèmes complexes,
                     Institut de recherche pour le développement,
                 Les Cordeliers, Paris, France, nicolas.bacaer@ird.fr

                       \(^2\) Nice, France, lobrinria@wanadoo.fr

      \(^3\) ITAP, Université de Montpellier, INRAE, Institut Agro, Montpellier,
                             France, tewfik.sari@irstea.fr

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  Résumé

   On s'intéresse à la probabilité d'extinction d'un processus linéaire de naissance
   et de mort avec plusieurs types dans un environnement périodique quand la période
   des coefficients est très grande. Cette probabilité peut présenter à la limite
   une discontinuité en lien avec un canard dans un système dynamique lent-rapide.
   On détermine précisément le point de discontinuité dans un exemple avec deux
   types d'individus.

   Mots clés : processus de naissance et de mort, environnement périodique, système
   lent-rapide

1.   Introduction

       L'estimation de la probabilité d'extinction d'une population est une question
   qui intervient notamment en biologie de la conservation et en épidémiologie. Dans
   ce deuxième cas, par population il faut entendre population infectée. Un modèle
   mathématique classique pour étudier ce genre de problème est celui des processus
   linéaires de naissance et de mort avec un ou plusieurs types d'individus
   (Méléard, 2016). Il faut néanmoins tenir compte dans de nombreuses situations de
   la saisonnalité de l'environnement, ce qui conduit à l'étude de ces processus
   lorsque les coefficients de naissance et de mort sont des fonctions périodiques
   du temps (Bacaër et Ait Dads, 2014). Certaines populations ou certaines épidémies
   ont des coefficients dont l'échelle de temps est relativement courte par rapport
   à la saisonnalité annuelle ; on est donc amené à considérer la limite où la
   période des coefficients est très grande. Lorsque les paramètres vitaux sont
   sous-critiques pendant une partie de l'année (la saison défavorable), la
   probabilité d'extinction comme fonction de la saison de démarrage du processus
   converge vers une limite discontinue (Carmona et Gandon, 2019). Le point de
   discontinuité se trouve avant le début de la saison défavorable.

       Bacaër (2019) avait poursuivi cette étude essentiellement dans le cas d'un
   seul type d'individus, en remarquant notamment que la discontinuité de la
   probabilité d'extinction était liée à la présence dans un système dynamique
   lent-rapide d'un « canard », c'est-à-dire (voir par exemple Lobry (2018, chapitre
   5)) d'une trajectoire qui longe un arc attractif pendant un certain temps avant
   de longer un arc répulsif. On se propose ci-dessous d'étudier un exemple avec
   deux types d'individus inspiré d'un modèle de transmission d'une maladie à
   vecteurs. On détermine précisément le point de discontinuité de la probabilité
   d'extinction. Ce problème était resté non résolu (Carmona et Gandon, 2019 ;
   Bacaër, 2019).

       Dans la section 2, on présente le modèle pour la population, à savoir celui
   des processus linéaires de naissance et de mort à coefficients périodiques avec
   plusieurs types d'individus. On explique que la probabilité d'extinction est liée
   à un système d'équations différentielles ordinaires. Lorsque la période converge
   vers l'infini, un changement de variable transforme ce système en un système
   lent-rapide avec une période fixe.

       Dans la section 3, on présente un exemple avec deux types d'individus. Des
   simulations numériques suggèrent que la probabilité d'extinction converge vers
   une limite discontinue et que le point de discontinuité est déterminé par une
   condition qui fait intervenir l'intégrale de la valeur propre dominante d'une
   certaine matrice. Dans la section 4, on démontre avec les outils de l'analyse non
   standard que c'est bien cette condition qui détermine le point de discontinuité.
   Dans la section 5, on présente un autre exemple avec cette fois quatre types
   d'individus. Une simulation numérique suggère qu'une condition du même type
   détermine encore le point de discontinuité. Nous ne sommes néanmoins pas parvenu
   à le démontrer dans un cadre général lorsque le nombre de types d'individus est
   strictement supérieur à deux.

2.   Le modèle

       On considère un processus linéaire de naissance et de mort avec k types
   (k>=1) dans un environnement périodique. T>0 est la période de l'environnement.
   On se donne deux fonctions matricielles \(\,A(t)=(A_{i,j}(t)) \)  et \(
   B(t)=(B_{i,j}(t)) \)  de taille k et de période T avec les hypothèses suivantes :
     * \(\forall i,j,\ A_{i,j}(t)\geq 0\)  représente le taux auquel les individus
       de type j engendrent de nouveaux individus de type i
     * \(\forall i\neq j,\ -B_{i,j}(t)\geq 0\) est le taux auquel les individus de
       type j se transforment en individus de type i;
     * \(\forall j,\ B_{j,j}(t)\geq 0\) représente le taux auquel les individus de
       type j changent de type ou meurent, et \(\,\sum_i B_{i,j}(t) \geq 0\);
     * si \(U(t)\) est solution du système \(dU/dt = -B(t) U(t)\) avec la condition
       initiale \(U(0)=I\) (la matrice identité), alors le rayon spectral de la
       matrice \(U(T)\), c'est-à-dire le multiplicateur de Floquet dominant,
       est \(\rho(U(T))=1 est un entier fixé.

   Notre objectif est d'étudier la limite \[q_i(s_0)=\lim_{T\to +\infty}
   z_i(t_1-t_0), \quad 1\leq i\leq k\] en fonction de \(s_0\), avec  \(0\leq
   s_00\),  \(\beta>0\),
   \(\gamma>0\) et \(\delta>0\).  \(\alpha(s)\) est une fonction continue périodique
   de période 1. Ce modèle stochastique s'inspire du modèle déterministe linéarisé
   pour une maladie à vecteurs de (Bacaër, 2007, Section 4.1) :
   \begin{equation}\tag{3.1} \frac{dW}{dt} = \left (\begin{array}{cc} -\beta &
   \alpha(t/T) \\ \gamma & -\delta \end{array}\right )W=c(t/T)\, W. \end{equation}
   Les vecteurs infectés sont le type 1. Les personnes infectées sont le type 2. Le
   paramètre \(\alpha(s)\) est le taux auquel les personnes infectées transmettent
   leur infection à des vecteurs lorsqu'elles sont piquées. Ce taux est périodique
   car la population de vecteurs sains l'est aussi. Le paramètre b est le taux
   auquel les vecteurs meurent. Le paramètre g est le taux auquel les vecteurs
   piquent. Le paramètre d est le taux auquel les personnes infectées guérissent. Le
   système (2.1) s'écrit alors \begin{eqnarray} \varepsilon\, \frac{dx_1}{ds}(s)&=&
   \beta\, [1-x_1(s)] -\gamma \, x_1(s) [1-x_2(s)] , \tag{3.2}\\ \varepsilon\,
   \frac{dx_2}{ds}(s)&=& \delta\, [1-x_2(s)]- \alpha(s_0+m-s)\, [1-x_1(s)]\, x_2(s).
   \tag{3.3} \end{eqnarray} Notons que les membres de droite s'annulent dans deux
   cas :  \(x_1(s)= 1\) et \(x_2(s)= 1\), ou bien \[ x_1(s) = {x}_1^*(s)=
   \frac{1+\frac{\delta}{\alpha(s_0+m-s) }}{1+\frac{\gamma}{\beta}}\quad ,\quad
   x_2(s) = {x}^*_2(s)=
   \frac{1+\frac{\beta}{\gamma}}{1+\frac{\alpha(s_0+m-s)}{\delta}}\, . \tag{3.4} \]
   Les deux valeurs propres de la matrice \(c(s)\)  sont des nombres réels :
   \begin{eqnarray} \lambda_\pm(s) &=& \frac{-(\beta+\delta) \pm
   \sqrt{(\beta+\delta)^2 + 4 [\alpha(s) \gamma-\beta \delta]}}{2} \, .\tag{3.5}
   \end{eqnarray} La valeur propre dominante est \(\Lambda(s)=\lambda_+(s)\). On
   a \(\,\lambda_-(s) < 0\ \forall s\).

       Supposons qu'il existe une saison défavorable à la transmission de
   l'épidémie, c'est-à-dire \( \exists \, 0 < s_1 < s_2 0. \tag{3.8} \end{equation}

       Comme exemple, prenons  \(\alpha(s)=\bar{\alpha}(1+\kappa \cos (2\pi
   s))\) avec \(\bar{\alpha}>0\),  \(|\kappa| 1\) alors que \(\int_0^1
   \Lambda(s)\, ds \simeq -\mbox{0,016} < 0\).

4.   La fonction entrée-sortie pour une bifurcation transcritique

       Pour justifier ce qui vient d'être dit au sujet du point de discontinuité, on
   considère plus généralement un champ lent-rapide avec deux dimensions rapides et
   une dimension lente, comme (3.2)-(3.3). On suppose que la dynamique rapide
   possède un point singulier avec deux valeurs propres réelles distinctes dont
   l'une est toujours négative et la deuxième est négative puis positive. Il s'agit
   donc d'une bifurcation transcritique où l'état d'équilibre de la dynamique rapide
   est un noeud stable puis un point-selle.

       Une solution qui est proche du point singulier stable ne va pas quitter son
   voisinage dès qu'il devient instable, mais va continuer à en rester proche
   pendant un certain temps. Le but est de calculer la fonction entrée-sortie pour
   cette bifurcation transcritique, c'est-à-dire de définir l'instant où la solution
   s'éloigne du point singulier (instant de sortie), en fonction de celui où elle
   s'en est approchée (instant d'entrée). Ce phénomène connu sous le nom de « retard
   à la bifurcation » est lié à la notion de solutions canards et de surstabilité.

       La notion de fonction entrée-sortie et le concept de solution canard ont été
   étudiés pour la première fois au tout début des années 1980 avec les méthodes de
   l'analyse non standard. Voir les articles de revue (Benoît et coll., 1981 ;
   Cartier, 1982 ; Zvonkin et Shubin, 1984). La fonction entrée-sortie a été
   calculée d'abord pour les canards de l'équation de Van der Pol (Benoît, 1981 ;
   Benoît et coll., 1981) puis étendue à un système lent-rapide quelconque du plan
   (Diener et Diener, 1983).

       Plus tard, l'existence des solutions canards a été retrouvée avec les
   méthodes classiques des développement asymptotiques (Eckhaus, 1983) et par la
   théorie géométrique des perturbations singulières (Dumortier et Roussarie, 1996).
   La fonction entrée-sortie pour un système du plan a été obtenue aussi par la
   théorie géométrique des perturbations singulières (De Maesschalck et Schecter,
   2016).

       Pour plus de détails sur l'apport de l'école non standardiste française au
   problème des canards et du retard à la bifurcation, le lecteur peut consulter
   (Cartier, 1982 ; Fruchard et Schäfke, 2008). Pour une vue plus complète sur les
   divers approches dans la théorie des perturbations singulières, voir la
   monographie récente (Kuehn, 2015) ainsi que l'article (Wechselberger, 2007)
   consacré aux canards. Pour la notion de surstabilité et de retard à la
   bifurcation, voir aussi (Benoît, 1991, 2015 ; Benoît et coll., 1998 ; Fruchard et
   Schäfke, 2008 ; Wallet, 1990, 1994) et les références qu'elles contiennent.

       Le cas particulier d'une champ lent-rapide en dimension deux, avec une
   dynamique rapide de dimension un qui est attractive puis répulsive, est bien
   compris, voir (Diener et Diener, 1983). Le cas de la bifurcation de Hopf, où deux
   valeurs propres sont complexes conjuguées et leur partie réelle change de signe,
   a été considéré par plusieurs auteurs, voir (Benoît, 2009 ; Callot, 1993 ; Diener
   et Diener, 1995 ; Lobry, 1992 ; Neishtadt, 1987, 1988 ; Wallet, 1986). Voir aussi
   la présentation complète et pédagogique dans la monographie récente (Kuehn, 2015,
   chapitre 12).

       Considérons un système différentiel sur \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^2\) avec
   une variable lente \(s\in\mathbb{R}\) et avec deux variables
   rapides \(x\in\mathbb{R}^2\)  \begin{equation} \varepsilon\frac{dx}{ds}=f(s,x).
   \tag{4.1} \end{equation}
   \(f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\)  est une fonction
   différentiable en \((s,x)\), et \(\varepsilon>0\) est un infiniment petit. On
   utilise le vocabulaire de l'analyse non standard, voir (Diener et Reeb, 1989) ou
   Lobry (2018, chapitre 5). On suppose  \(f(s,0)=0\ \forall s\).

       x=0 est non seulement une courbe lente du système (4.1), c'est-à-dire une
   solution de l'équation  \(f(s,x)=0\), mais aussi une solution particulière du
   système (4.1). On définit la matrice carrée 2×2 \begin{equation}
   M(s)=\frac{\partial f}{\partial x}(s,0). \tag{4.2} \end{equation} On suppose
   que \(M(s)\) possède deux valeurs propres
   distinctes, \(\lambda_1(s)\) et \(\lambda_2(s)\) dont l'une reste toujours
   négative et l'autre change de signe. Avec \(\sigma_0 < \sigma_1 < \sigma_2\), on
   a :
     * \(\lambda_1(s) < 0\) et \(\lambda_1(s) < \lambda_2(s)\ \forall
       s\in[\sigma_0,\sigma_2]\),
     * \(\lambda_2(s) < 0\ \forall s\in[\sigma_0,\sigma_1[\)  et \(\lambda_2(s)>0\
       \forall s\in]\sigma_1,\sigma_2]\).

       Dans la théorie géométrique des perturbations singulières on étudie le
   système (4.1) dans l'espace de phase étendu \((x,\varepsilon)\). On ajoute
   l'équation \(\frac{d\varepsilon}{ds}=0\). Une seule valeur propre de la dynamique
   rapide change de signe. Cette situation peut étre ramenée au cas des systèmes
   dans le plan, par réduction sur la variété centrale du système augmenté
   ((4.1), \(\frac{d\varepsilon}{ds}=0\)) en son point
   d'équilibre \((x,\varepsilon)=(0,0)\). Pour plus de détails voir (Boudjellaba et
   Sari, 2009 ; Krupa et Szmolyan, 2001). Avec cette réduction, on obtient un
   système plan dont la fonction entrée-sortie est donnée par l'intégrale de la
   valeur propre qui change de signe (Diener et Diener, 1983):
   \begin{equation}\tag{4.3} \int_{p}^{q}\lambda_2(s)\, ds=0\, . \end{equation} Dans
   cette équation p est l'instant d'entrée, et q est l'instant de sortie. La
   réduction prédit que la fonction entrée-sortie est donné par la formule (4.3)
   localement, près de la valeur de bifurcation transcritique. On se propose dans ce
   qui suit de calculer la fonction entrée-sortie globale. Le cas particulier d'un
   champ lent-rapide en dimension trois avec une dynamique rapide découplée a été
   considéré dans (Boudjellaba et Sari, 2009).

       Nous utilisons le vocabulaire de l'analyse non standard. Ce qu'est
   précisément cette théorie n'est pas très important pour la compréhension de cet
   article. Le lecteur peut garder en tête le sens intuitif du langage infinitésimal
   et se rassurer en sachant que l'analyse non standard fournit une fondation
   rigoureuse des concepts d'infiniment petit et d'infiniment grand. Pour une
   introduction à l'analyse non standard, voir (Diener et Reeb, 1989). Pour plus
   d'informations sur l'utilisation de l'analyse non standard dans la théorie des
   équations différentielles, le lecteur peut se reporter à (Cartier, 1982),
   (Zvonkin et Shubin, 1984), (Kuehn, 2015, chapitre 19.5) ou (Lobry, 2018, chapitre
   5).

       On suppose donc que le paramètre e dans (4.1) est infiniment petit. La
   solution \(x(s)=0\) est un « canard » puisqu'elle est attractive
   si \(s\in[\sigma_0,\sigma_1[\) et répulsive si \(s\in]\sigma_1,\sigma_2]\). Le
   but est d'étudier les solutions du système (4.1) qui sont infiniment proches de
   cette solution. La dynamique rapide est attractive sur
   l'intervalle \([\sigma_0,\sigma_1[\). On prend \(p\in[\sigma_0,\sigma_1[\,\). Une
   solution du système (4.1) avec une condition initiale dans le bassin d'attraction
   de 0 se dirige rapidement vers la courbe lente x=0 et reste infiniment proche de
   celle-ci tant que \(s < \sigma_1\). La solution ne quitte pas le voisinage
   infinitésimal de 0 à cet instant, mais continue à longer le 0 sur tout un
   intervalle. L'instant \(q > \sigma_1\) pour lequel \(x(s)\) n'est plus infiniment
   proche de 0 est appelé l'instant de sortie. L'objectif est de déterminer la
   fonction \(p\mapsto q\). On va montrer que q est défini par l'équation (4.3).
   Plus précisément on a le résultat suivant :

    Théorème

   On définit
     *  \(p\in[\sigma_0,\sigma_1[\)
     *  \(x(p)\) une condition initiale située dans le bassin d'attraction de 0 mais
       qui n'est pas infiniment proche de la variété invariante de la dynamique
       rapide correspondant à la valeur propre  \(\lambda_1(p)\).
     * q par l'équation (4.3).

   Alors  \(\forall\, s\in]p,q[\) non infiniment proche de p ou q, on
   a: \(x(s)\simeq 0\). De plus, \(x(q)\) n'est pas infiniment proche de 0. En
   p, \(x(s)\) s'approche de 0 le long de l'orbite de la dynamique rapide
   \[\frac{dx}{dt}=f(p,x).\] qui passe par \(x(p)\). En q,  \(x(s)\) s'éloigne de 0
   le long de la séparatrice instable de 0 pour la dynamique rapide
   \[\frac{dx}{dt}=f(q,x).\]

       Preuve. On a \(g(s,x)=f(s,x)-M(s)x\).  \(M(s)\) est la matrice (4.2). On a
   \begin{equation} g(s,0)=0,\quad \frac{\partial g}{\partial x}(s,0)=0. \tag{4.4}
   \end{equation} Le système (4.1) devient \begin{equation}
   \varepsilon\frac{dx}{ds}=M(s)x+g(s,x). \tag{4.5} \end{equation} La
   matrice \(M(s)\) possède deux valeurs propres distinctes. Il existe donc une
   matrice différentiable inversible \(P(s)\) avec \[P(s)^{-1}M(s)P(s)=A(s)\quad
   ,\quad
   A(s)=\left(\begin{array}{cc}\lambda_1(s)&0\\0&\lambda_2(s)\end{array}\right).\]
   On transforme l'équation (4.5) avec le changement de variable \(x=P(s)u\)  \[
   \varepsilon\frac{du}{ds}= A(s)u+P(s)^{-1}g(s,P(s)u)-\varepsilon P(s)^{-1}P'(s)u.
   \] On transforme cette équation avec la loupe \(u=\varepsilon U\) \[
   \varepsilon\frac{dU}{ds}= A(s)U+\frac{1}{\varepsilon}P(s)^{-1}g(s,P(s)\varepsilon
   U)-\varepsilon P(s)^{-1}P'(s)U. \] Les conditions (4.4) sont vérifiées
   par \(g(s,x)\). On a donc \[P(s)^{-1}g(s,P(s)\varepsilon U)=\varepsilon^2
   g_1(s,U,\varepsilon),\] et \(g_1(s,U,\varepsilon)\) est une fonction continue.
   Par conséquent, on a \[ \varepsilon\frac{dU}{ds}= A(s)U+\varepsilon
   h(s,U,\varepsilon). \]
   \(h(s,U,\varepsilon)=g_1(s,U,\varepsilon)-P(s)^{-1}P'(s)U\)  est une fonction
   continue. On définit les composantes des vecteurs :
   \(U=(U_1,U_2)\) et \(h=(h_1,h_2)\). Le système devient \[
   \varepsilon\frac{dU_j}{ds}=\lambda_j(s)U_j+\varepsilon\,
   h_j(s,U_1,U_2,\varepsilon),\qquad j=1,2. \] Ce système est constitué de deux
   équations faiblement couplées. Le changement de variables \[U_1=r\cos\theta,\quad
   U_2=r\sin\theta\] transforme le système en \begin{equation} \begin{array}{l}
   \varepsilon\frac{dr}{ds}=r\left
   [\lambda_1(s)\cos^2\theta+\lambda_2(s)\sin^2\theta\right ]+ \varepsilon \,
   k_1(s,r,\theta,\varepsilon),\\[2mm] \varepsilon\frac{d\theta}{ds}=\left
   [\lambda_2(s)-\lambda_1(s)\right]\cos\theta\sin\theta+ \varepsilon \,
   k_2(s,r,\theta,\varepsilon), \end{array} \end{equation} avec \begin{eqnarray*}
   k_1(s,r,\theta,\varepsilon)&=&\cos \theta \ h_1(s,r\cos \theta,r\sin \theta,
   \varepsilon) + \sin \theta\ h_2(s,r\cos \theta,r\sin \theta, \varepsilon),\\
   k_2(s,r,\theta,\varepsilon)&=&-\frac{\sin \theta}{r} \, h_1(s,r\cos \theta,r\sin
   \theta, \varepsilon) + \frac{\cos \theta}{r}\, h_2(s,r\cos \theta,r\sin \theta,
   \varepsilon). \end{eqnarray*} \(k_2\) est une fonction continue en r=0 car
   \(h_1=O(r)\) et \(h_2=O(r)\). On choisit \(r_0\) avec \(0 < r_0 < 1\) et de sorte
   que la boule de centre 0 et de rayon \(r_0\) soit incluse dans le bassin
   d'attraction de l'origine. Appliquons le changement de variable
   \(v=\varepsilon\ln(r)\) à la région \( 0 < r < r_0 \), qui est envoyée dans la
   région définie par \(-\infty < v < \varepsilon\ln(r_0) < 0\). On obtient le
   système : \begin{equation}\tag{4.6} \begin{array}{l}
   \frac{dv}{ds}=\lambda_1(s)\cos^2\theta+\lambda_2(s)\sin^2\theta+ \varepsilon \,
   k_1(s,e^{v/\varepsilon},\theta,\varepsilon),\\[2mm]
   \varepsilon\frac{d\theta}{ds}=\left[\lambda_2(s)-\lambda_1(s)\right)]\cos\theta\s
   in\theta+ \varepsilon\, k_2(s,e^{v/\varepsilon},\theta,\varepsilon). \end{array}
   \end{equation} C'est un système singulièrement perturbé dont la variété lente est
   la réunion des deux plans th=0 et th=p/2. Parce
   que \(\lambda_2(s)>\lambda_1(s)\) pour tout s, le plan th=p/2 est attractif et le
   plan th=0 est répulsif. Toute solution issue d'un point non infiniment proche du
   plan répulsif devient infiniment proche du plan attractif en un temps infiniment
   petit. Les solutions qui sont issues d'un point très proche du plan répulsif
   peuvent rester près de ce plan un temps assez long avant de s'en éloigner. Le
   théorème de Tihonov s'applique (Lobry et coll., 1998 ; Tihonov, 1952). On
   choisit \(p\in[\sigma_0,\sigma_1[\) et \(x(p)\) une condition initiale située
   dans le bassin d'attraction de 0, mais qui n'est pas infiniment proche de la
   variété invariante de la dynamique rapide \[\frac{dx}{dt}=f(p,x)\] correspondant
   à la valeur propre \(\lambda_1(p)\). La dynamique rapide conduit la solution
   correspondante infiniment près de 0. Dans le plan \((U_1,U_2)\), elle n'est pas
   infiniment proche de la variété lente \(U_2=0\,\), et donc du plan th=0. Par
   conséquent la solution s'approche rapidement du plan th=p/2 puis est approximée
   par la solution du système lent \begin{equation}
   \frac{dv}{ds}=\lambda_2(s),\qquad \theta=\pi/2. \end{equation} On en déduit que
   \[v(s)=\int_{p}^s\lambda_2(w)\, dw.\] Par conséquent on a de
   nouveau \(r(s)=r_0\), c'est-à-dire  \(v(s)\) infiniment petit, lorsque s est
   asymptotiquement égal à q défini par (4.3). Pour cette valeur de q, l'origine est
   un point-selle pour la dynamique rapide \[\frac{dx}{dt}=f(q,x).\] Par conséquent,
   la solution s'éloigne au point q du point-selle le long de sa séparatrice
   instable. On a utilisé ici qu'à l'instant p la solution n'était pas infiniment
   proche de la variété lente th=p/2, ce qui traduit le fait que la solution n'est
   pas arrivée dans le plan \((U_1,U_2)\) en étant très près de \(U_1=0\). Ceci
   termine la preuve.

       Retournons à l'exemple (3.2)-(3.3). On
   définit \(\tilde{\alpha}(s)=\alpha(s_0+m-s)\). Le système rapide suivant, où s
   est considéré comme un paramètre, \begin{equation} \begin{array}{l}
   \frac{dx_1}{dt}=\beta(1-x_1)-\gamma x_1(1-x_2),\\[2mm] \frac{dx_2}{dt}=\delta
   (1-x_2)-\tilde{\alpha}(s) (1-x_1)x_2, \end{array} \end{equation} a deux points
   d'équilibre (états quasi-stationnaires)  \((x_1, x_2)=(1, 1)\) et \((x_1,
   x_2)=(x_1^*(s),x_2^*(s))\) donné par (3.4). La matrice jacobienne en (1,1)
   est \(\tilde{c}(s_0+m-s)\). Comme on l'a déjà vu, les deux valeurs propres sont
   toujours distinctes, ce sont des nombres réels. Les deux valeurs propres sont
   négatives si et seulement si \(\tilde{\alpha}(s) < \beta \delta /\gamma\). Par
   conséquent le point singulier (1,1) est un noeud attractif pour les valeurs de s
   pour lesquelles \(\tilde{\alpha}(s) < \beta \delta /\gamma\,\), et un point-selle
   si \(\tilde{\alpha}(s)>\beta \delta /\gamma\). Les valeurs propres sont
   \(\lambda_1(s)=\lambda_-(s)\) et \(\lambda_2(s)=\lambda_+(s)\), données par
   (3.5).

       Avec \((x_1,x_2)=(x_1^*(s), x_2^*(s))\,\), on obtient la matrice jacobienne
   \[ J=\left( \begin{array}{cc}
   -\frac{\beta+\gamma}{1+\delta/\tilde{\alpha}(s)}&\frac{1+\delta/\tilde{\alpha}(s)
   }{1/\beta+1/\gamma}\\
   \frac{1+\beta/\gamma}{1/\tilde{\alpha}(s)+1/\delta}&-\frac{\delta+\tilde{\alpha}(
   s)}{1+\beta/\gamma} \end{array} \right). \] On a \[{\rm Trace}(J) < 0\ ,\quad
   \quad {\rm D\acute{e}t}(J)=\tilde{\alpha}(s)\gamma-\beta \delta.\] Les valeurs
   propres ont une partie réelle négative si et seulement
   si \(\tilde{\alpha}(s)>\beta \delta /\gamma\). Par conséquent, aux points
   où \(\tilde{\alpha}(s)=\beta \delta /\gamma\,\), il y a des bifurcations
   transcritiques, car les deux équilibres suivants se rencontrent et échangent
   leurs stabilités :  \((x_1,x_2)=(1, 1)\) et \((x_1,x_2)=(x_1^*(s), x_2^*(s))\).

       On a
     *  \(\lambda_1(s) < 0\)
     *  \(\lambda_2(s) < 0\) si \(s_0+m-s\in]s_1,s_2[\ \mathrm{modulo}\ 1\)
     *  \(\lambda_2(s) > 0\) si \(s_0+m-s\in]s_2,s_1+1[\ \mathrm{modulo}\ 1\).

   On peut appliquer le théorème et calculer la fonction entrée-sortie comme on l'a
   fait dans la section 2.

5.   Généralisation

       Cette étude s'étend sans doute à des problèmes avec plus de deux équations
   rapides et une équation lente. Considérons par exemple le système linéarisé à
   quatre équations rapides de (Bacaër, 2007, Section 4.2) \begin{equation}
   \frac{dW}{dt} = \left (\begin{array}{cccc} -(\gamma+\mu) & 0 & 0 & \psi(t/T)\\
   \gamma & -\mu & 0 & 0 \\ 0 & \beta & -\delta & 0\\ 0 & 0 & \delta & -\alpha
   \end{array} \right )W=c(t/T) W. \end{equation} On suppose \(\alpha>0\),
   \(\beta>0\),  \(\gamma>0\),  \(\delta>0\),  \(\mu>0\). \(\psi(\cdot)>0\) est une
   fonction périodique de période 1. C'est aussi un modèle pour la transmission
   d'une maladie à vecteurs. Les deux premières composantes représentent les
   vecteurs infectés dans la phase latente et dans la phase infectieuse tandis que
   les deux dernières composantes représentent les personnes infectées dans la phase
   latente et dans la phase infectieuse. Le système (2.1) devient,
   avec \(\varepsilon=1/T\)  \begin{eqnarray*} \varepsilon \, \frac{dx_1}{ds}(s) &=&
   (\gamma+\mu) [1-x_1(s)]-\gamma [1-x_2(s)],\\ \varepsilon \, \frac{dx_2}{ds}(s)
   &=& \mu[1-x_2(s)]-\beta x_2(s) [1-x_3(s)],\\ \varepsilon \, \frac{dx_3}{ds}(s)
   &=& \delta [1-x_3(s)]-\delta [1-x_4(s)],\\ \varepsilon \, \frac{dx_4}{ds}(s) &=&
   \alpha [1-x_4(s)]-\psi(s_0+m-s) [1-x_1(s)] x_4(s). \end{eqnarray*} La conjecture
   est que la fonction entrée-sortie est donnée par la formule (4.3),
   où \(\lambda_2(s)\) doit être remplacé par la valeur propre réelle
   dominante \(\Lambda(s)\) de la matrice \(c(s)\), comme on a pu le vérifier sur un
   exemple numérique (Figure 3). Les valeurs des paramètres sont \(\alpha=1\),
   \(\beta=1\),  \(\gamma=1\),  \(\delta=1\),  \(\mu=1\),  \(\psi(s)=3\times
   (1+\mbox{0,75}\cos(2\pi s))\),  \(m=3\) et \(T=2000\). On a l'équation
   caractéristique pour les valeurs propres l de la matrice \(c(s)\)
   \[(\lambda+\gamma+\mu)(\lambda+\mu)(\lambda+\delta)(\lambda+\alpha)=\beta\,
   \gamma\, \delta\, \psi(s).\] On en déduit que \(\Lambda(s) < 0\) si et seulement
   si \[\frac{\beta\, \gamma\, \psi(s)}{\alpha\, \mu\, (\gamma+\mu)} < 1,\] ce qui
   se produit pour \(s_1 < s < s_2\) avec \(s_1\simeq \mbox{0,323}\) et \(s_2\simeq
   \mbox{0,677}\). Avec la formule (4.3) on trouve \(s^*\simeq \mbox{0,047}\), qui
   semble bien correspondre au saut brusque de la probabilité d'extinction dans la
   figure 3.
   [2020ARIMA_Figure3BLS.png] Figure 3. Les probabilités d'extinction après m
   périodes \(x_1(m)\) (en noir), \(x_2(m)\)  (en bleu) ainsi
   que \(x_3(m)\) et \(x_4(m)\) (en vert, indiscernables) en fonction de \(s_0\). En
   pointillé, les courbes lentes. En rose, on a tracé un morceau de la fonction
   \(s_0\mapsto 1+\int_{s_0}^{s_2} \Lambda(s)\, ds\).

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