Le pic épidémique dans un modèle S-I-R

    N. Bacaër: Le pic épidémique dans un modèle S-I-R. [1]Quadrature 117 (2020) p.
                                         9-12.
                                    Nicolas Bacaër

                      Institut de recherche pour le développement
       Unité de modélisation mathématique et informatique des systèmes complexes
                             Les Cordeliers, Paris, France
                                 nicolas.bacaer@ird.fr

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       avtomaticheskim perevodchikom Vashego brauzera.
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    Résumé

   On étudie une épidémie modélisée par un système différentiel de type S-I-R.
   Lorsque la population N est grande, le pic épidémique est au temps T, avec
   \(\,T\sim (\ln N)/(a-b)\).  \(\,a\)  est le taux de contact effectif.
   \(\,b\) est le taux auquel les personnes infectieuses guérissent.

Introduction

       Considérons comme par exemple dans [1, 2, 6, 7, 8] le modèle S-I-R de Kermack
   et McKendrick pour une épidémie \[\frac{dS}{dt} = -a \frac{S I}{N},\quad
   \frac{dI}{dt} = a \frac{S I}{N} - b I,\quad \frac{dR}{dt}=b I.\] \(S(t)\) est le
   nombre de personnes saines. \(I(t)\) est le nombre de personnes
   infectées. \(R(t)\) est le nombre de personnes retirées de la transmission par
   suite d'un isolement, d'une guérison ou d'un décès. \(N=S(t)+I(t)+R(t)\,\) est la
   population totale. Cette population totale est supposée constante et suffisamment
   grande pour qu'il soit raisonnable de modéliser l'épidémie par un système
   différentiel plutôt que par un processus stochastique. Considérons les conditions
   initiales \[S(0)=N-1,\quad I(0)=1,\quad R(0)=0,\] qui correspondent au démarrage
   de l'épidémie à partir d'un seul « patient zéro ».

       Le paramètre \(a\) (avec \(a > 0\)) est en fait le produit de deux nombres :
   le nombre de contacts par unité de temps et la probabilité de transmission lors
   d'un contact entre une personne non infectée et une personne infectée. Les
   contacts ont lieu au hasard. \(\,I/N\,\) est la probabilité pour une personne
   d'être dans le compartiment I. Ceci explique le terme quadratique en \(\,SI/N\,\)
   dans le système différentiel. \(\,b>0\,\) est le taux auquel les personnes
   quittent le compartiment I. L'hypothèse sous-jacente est donc que le temps passé
   dans le compartiment I est distribué selon une loi exponentielle de paramètre b.
   On supposera a>b pour qu'une véritable épidémie ait lieu.

       Un exemple est détaillé à la figure 1. On a utilisé le logiciel Scilab et sa
   fonction de résolution des systèmes différentiels. Cette fonction implémente un
   schéma prédicteur-correcteur d'Adams pour les systèmes qui ne sont pas raides. On
   a choisi \(\,N=65\times 10^6\) (la population de la France),  \(a=1/2\) par jour
   et \(b=1/4\,\) par jour. Au début de l'épidémie, une personne infectée infecte
   donc en moyenne une personne tous les deux jours. La durée moyenne d'infection
   \(\,1/b\,\) est de 4 jours. Cela correspond à une reproductivité
   \(\,\mathcal{R}_0=a/b=2\,\) (le terme et la notation proviennent de [9, p. 102]).
   \(\,\mathcal{R}_0\,\) est donc le nombre moyen de cas secondaires qu'une personne
   infectée infecte au début de l'épidémie. Sans prétendre être réaliste, il s'agit
   de valeurs du même ordre de grandeur que ce qu'on peut trouver pour l'épidémie de
   coronavirus de 2020 dans le cas hypothétique où il n'y aurait aucune intervention
   pour limiter l'épidémie [5].
   [2020Quadrature_picFig1.png] Figure 1. Une simulation du modèle S-I-R avec en
   abscisse le temps t en jours.

Le pic épidémique

       En combinant la première et la troisième équation du système S-I-R, il est
   bien connu [8, p. 76] qu'on trouve une intégrale première : \[ \frac{1}{S}
   \frac{dS}{dt} = -a\, \frac{I}{N} = - \frac{a}{bN} \frac{dR}{dt}. \] On a donc
   \[\ln [S(t)/S(0)] = -\frac{a}{bN} R(t).\] En reportant dans la première équation,
   on trouve \[\frac{dS}{dt}=-a \frac{S}{N} (N-S-R) =-a \frac{S}{N} \left
   (N-S+\frac{bN}{a} \ln [S(t)/S(0)]\right ).\] Le pic épidémique de la figure 1
   correspond à \(dI/dt=0\), ce qui arrrive d'après la deuxième équation
   quand \(S(t)=Nb/a\). \(\,S(t)\) est une fonction décroissante parce que \(dS/dt
   \leq 0\,\) d'après la première équation. On en déduit que si T est l'instant du
   pic épidémique, c'est-à-dire si \[I(T)=\max_{t>0} I(t),\] on a alors \[T=\int_0^T
   dt = \int_{S(0)}^{bN/a} \frac{dS}{-a \frac{S}{N} \left (N-S+\frac{bN}{a} \ln
   [S/S(0)]\right )}.\] On définit \(s=S/N\). On a alors \begin{equation}\tag{1}
   T=\frac{1}{a} \int_{b/a}^{1-1/N} \frac{ds}{ s \left (1-s+\frac{b}{a} \ln
   [s/(1-1/N)]\right )}. \end{equation}

       On cherche un majorant de T. Pour tout \(\ b/a < s < 1-1/N\), on a
   \[\frac{1}{s \left (1-s+\frac{b}{a} \ln [s/(1-1/N)] \right )}\leq \frac{1}{s
   \left (1-s+\frac{b}{a} \ln s \right )}.\] Au voisinage de \(s=1\), on a \[
   \frac{1}{s \left (1-s+\frac{b}{a} \ln s \right )} \sim \frac{1}{(1-s)(1-b/a)}\,
   .\] L'intégrale \[\int_{b/a}^1 \frac{ds}{1-s}\] est divergente. Avec \(\,N\to
   +\infty\), on obtient \[T \leq \frac{1}{a} \int_{b/a}^{1-1/N} \frac{ds}{s \left
   (1-s+\frac{b}{a} \ln s \right )} \sim \frac{1}{a} \int_{b/a}^{1-1/N}
   \frac{ds}{(1-s)(1-b/a)}\sim \frac{\ln N}{a-b}\, .\]

       On cherche un minorant de T. On a \(\ln s \leq s-1\) pour tout  \(\,s >
   0\,\). On a par ailleurs \(\,\ln(1-1/N) \geq -2/N\) pour tout entier \(N\geq 2\).
   On a donc pour \(\,s\in ]b/a,1-1/N[\,\) et pour tout nombre entier N>=2,
   \begin{eqnarray*} 1-s+\frac{b}{a} \ln [s/(1-1/N)] &=& 1-s+\frac{b}{a} \ln s -
   \frac{b}{a} \ln(1-1/N)\\ &\leq& 1-s+\frac{b}{a}(s-1)+\frac{2b}{aN}.
   \end{eqnarray*} On a donc \[T\geq \frac{1}{a} \int_{b/a}^{1-1/N}
   \frac{ds}{s[1-\frac{b}{a}+\frac{2b}{aN}-(1-b/a)s]}. \] On tombe sur une fraction
   rationnelle de la forme \(\frac{1}{s(u-vs)}\) avec
   \[u=1-\frac{b}{a}+\frac{2b}{aN},\quad v=1-b/a.\] Elle se décompose en éléments
   simples \[\frac{1}{s(u-vs)}=\frac{1}{u} \left (\frac{1}{s}+\frac{v}{u-vs} \right
   ).\] Une primitive est \[\frac{1}{u} [\ln s - \ln(u-vs)]=\frac{1}{u} \ln
   \frac{s}{u-vs}.\] On a donc \begin{eqnarray*} T &\geq&
   \frac{1}{a(1-\frac{b}{a}+\frac{2b}{aN})} \ln \left \{ \frac{1-1/N}{b/a} \
   \frac{1-\frac{b}{a}+\frac{2b}{aN} - (1-b/a)b/a}{1-\frac{b}{a}+\frac{2b}{aN} -
   (1-b/a)(1-1/N)} \right \}\\ &=&\frac{1}{a-b+2b/N} \ln \left \{\frac{1-1/N}{b/a} \
   \frac{(1-b/a)^2+\frac{2b}{aN} }{(1+b/a)/N} \right \}\\ &=&\frac{1}{a-b+2b/N}
   \left [\ln N + \ln \left \{\frac{1-1/N}{b/a} \ \frac{(1-b/a)^2+\frac{2b}{aN}
   }{(1+b/a)} \right \} \right ]. \end{eqnarray*} Le membre de droite est  \(\sim
   (\ln N)/(a-b)\)  si  \(N\to +\infty\). Comme c'est le même équivalent que celui
   du majorant obtenu ci-dessus, on en conclut que \(T\sim (\ln N)/(a-b)\)  si
   \(N\to +\infty\).

       Dans l'exemple de la figure 1, on a  \(T\simeq \mbox{71,4}\)  jours tandis
   que  \((\ln N)/(a-b)\simeq \mbox{72,0}\,\) jours. L'approximation semble assez
   bonne. Dans la figure 2, on fait varier la taille N de la population ainsi que le
   paramètre \(\,a\,\), avec b fixé. On remarque \((\ln N)/(a-b)\,\) tantôt
   surestime, tantôt sous-estime T.
   [2020Quadrature_picFig2.png] Figure 2. Comparaison entre d'une part la date T du
   pic de l'épidémie (ligne continue), calculée avec l'intégrale de la formule (1),
   d'autre part l'équivalent \(\,(\ln N)/(a-b)\) (grands pointillés) et
   l'approximation  \([\ln (2N(b/a-1)^2)]/(a-b)\) (petits pointillés), en fonction
   de \(\ln N\), si \(\,10 \leq N \leq 10^8\,\) pour trois valeurs du paramètre a
   avec une reproductivité \(\mathcal{R}_0=a/b\in \{\mbox{1,5}\ ;\ 2\ ;\ 3\}\).

       \(a-b\,\) est le taux de croissance initial de l'épidémie. On a alors pour N
   grand, \(\,S(t)\simeq N\)  et  \(dI/dt \simeq (a-b)I\). Ce taux peut être estimé
   à partir des données épidémiologiques. La population N est connue. On peut donc
   prévoir la date du pic de l'épidémie. En pratique, l'hypothèse sous-jacente au
   modèle d'un mélange homogène de la population reste néanmoins douteuse pour un
   pays entier, un peu moins pour une ville.

       Historiquement, Kermack et McKendrick avaient résolu de manière approchée le
   système S-I-R en supposant que la reproductivité était proche de 1, ce qui
   conduit à une petite épidémie. Avec l'approximation \(\,e^{x}\simeq
   1+x+x^2/2\,\), ils étaient parvenus à une équation de Riccati résoluble
   explicitement, de sorte que \begin{equation}\tag{2} I(t)\simeq
   \frac{X}{\mathrm{ch}^2(Yt-Z)}. \end{equation} X, Y et Z sont des fonctions
   compliquées des paramètres N, a et b. Voir par exemple [3]. Le pic épidémique est
   \(\,T \simeq Z/Y\). Notons au passage qu'à notre connaissance l'approximation (2)
   n'a jamais été démontrée rigoureusement, ce pourquoi on utilise ci-dessus et
   ci-dessous le signe informel \(\simeq\). On suppose maintenant en plus \(1/N\ll
   (\mathcal{R}_0-1)^2\). Dans ce cas, \[Y\simeq \frac{a-b}{2},\quad Z\simeq
   \frac{1}{2} \ln [2N(b/a-1)^2]\] (voir par exemple [4]), de sorte que \[T \simeq
   \frac{\ln [2N(b/a-1)^2]}{a-b}\, .\] Cette approximation est également représentée
   dans la figure 2 ; elle semble particulièrement proche de la vraie valeur de T si
   \(\,\mathcal{R}_0\,\) est proche de 1, comme on pourrait s'y attendre. Avec N qui
   converge vers l'infini, on a néanmoins \(T \simeq \frac{\ln N}{a-b}\,\). On
   retrouve le même comportement asymptotique. Notre analyse basée sur la formule
   (1) est valable cependant pour tout \(\,\mathcal{R}_0 > 1\)  et pas seulement
   pour  \(\mathcal{R}_0\,\) proche de 1. De plus, notre preuve est rigoureuse.

Conclusion

       On a trouvé que le pic de l'épidémie avait lieu à un temps \(T \sim (\ln
   N)/(a-b)\)  si N converge vers l'infini. Ce résultat semble nouveau malgré sa
   simplicité. Dans la littérature scientifique, on n'a trouvé que des informations
   sur la hauteur du pic, qui se détermine facilement grâce à l'intégrale première
   du système. En effet, Avec \[S(T)=\frac{N\, b}{a},\quad \ln \frac{S(T)}{S(0)} =
   -\frac{a}{bN} R(T),\quad N=S(T)+I(T)+R(T),\] on obtient
   \[\frac{I(T)}{N}=1-\frac{b}{a}+\frac{b}{a} \ln \left (\frac{N}{N-1}\ \frac{b}{a}
   \right ) \simeq 1-\frac{b}{a}+\frac{b}{a} \ln \frac{b}{a}\] (voir par exemple [1,
   équation 7.26]). Dans certaines références comme [7, p. 238], il y a des
   inversions où le temps t est une fonction des variables monotones R ou S, ce qui
   conduit à des intégrales comme (1) à un changement de variable près. Mais le
   système différentiel S-I-R y était écrit sous la forme \(\,dS/dt = - \alpha S
   I\,\). L'idée n'était probablement pas venue de prendre \(\,\alpha = a/N\), ce
   qui est d'une certaine manière plus réaliste et nécessaire pour que la limite
   d'une grande population donne des résultats intéressants.

       Pour une épidémie comme celle de coronavirus, le modèle S-I-R manque un peu
   de réalisme. Cela conduit à considérer des modèles avec plus de compartiments,
   par exemple avec un compartiment supplémentaire pour les personnes dans la phase
   latente qui sont infectées mais pas encore contagieuses. Voir à ce sujet [5], qui
   essaie aussi d'estimer les paramètres à partir de la courbe épidémique. L'étude
   analytique du pic épidémique dans ce cadre-là est sans doute plus difficile.

    Remerciements

       On remercie Hisashi Inaba pour ses commentaires sur le texte.

    Références bibliographiques

    1. B. Anselme, Biomath&eacutematiques, Dunod, Paris, 2015.
    2. N. Bacaër, Histoires de mathématiques et de populations, Cassini, Paris,
       2009.
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       la reproductivité d'un type avec de la saisonnalité. Journal of Mathematical
       Biology 64 (2012) 403-422. [2]https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01340008
    4. N. Bacaër (2019) Sur la taille finale des épidémies dans un environnement
       périodique. Comptes Rendus Biologies 342 (2019) 119-123.
       [3]https://doi.org/10.1016/j.crvi.2019.07.001
    5. N.Bacaër (2020) Un modèle mathématique de l'épidémie de coronavirus en
       France. [4]https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02509142
    6. M. Corlosquet-Habart, J. Janssen, R. Manca, Modélisation stochastique du
       risque de pandémie : stratégies de couverture et d'assurance, Lavoisier,
       Cachan, 2012.
    7. J. Gani, Processus stochastiques de population, P.-L. Hennequin (éd.), École
       d'été de probabilités de Saint-Flour IV, Springer, Berlin, 1975, p. 188-293.
    8. A. Hillion (1986) Les Théories mathématiques des populations. Presses
       Universitaires de France, Paris.
    9. A. J. Lotka (1939) Théorie analytique des associations biologiques, 2e
       partie. Hermann, Paris.

References

   1. https://www.quadrature.info/
   2. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01340008
   3. https://doi.org/10.1016/j.crvi.2019.07.001
   4. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02509142