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   "Hermann Minkowski, grand prix de l'Académie des sciences à 18 ans"
   par Eva Bayer-Fluckiger
   Conférence donnée dans le cadre du cycle "Un texte, un mathématicien".

[72]Accéder à la vidéo

   L'étude des sommes de carrés est presqu'aussi ancienne que les mathématiques
   elles--mêmes - par exemple, Diophante s'est intéressé aux sommes de deux et trois
   carrés, et semble avoir su que tout entier positif peut s'exprimer comme une
   somme de quatre carrés. Au 17ième siècle, Fermat a caractérisé les sommes de deux
   carrés, et s'est attaqué aux sommes de quatre carrés. C'est finalement Lagrange
   qui a publié, en 1770, la première démonstration du "théorème des quatre carrés"
   pressenti par Diophante. Les sommes de trois carrés s'avèrent être plus
   difficiles - c'est Legendre qui les a caractérisées. On peut aussi se poser une
   question plus précise : de combien de façons peut - on écrire un nombre donné
   comme somme de carrés ? Là aussi, les nombres pairs sont plus faciles - Fermat a
   traité le cas des deux carrés, Jacobi celui des quatre, six et huit carrés. La
   théorie des formes ternaires de Gauss a résolu le problème pour les sommes de
   trois carrés. En 1881, l'Académie des Sciences de Paris a mis au concours un
   Grand Prix pour le meilleur mémoire sur la "Décomposition des nombres entiers en
   une somme de cinq carrés" L'Académie a attiré l'attention des concurrents sur un
   article d'une page d'Eisenstein, qui donne une formule, mais sans aucune
   démonstration. Un mathématicien anglais, Henry John Stephen Smith, a été fort
   surpris de voir cette annonce dans les Comptes Rendus de l'Académie - en effet,
   il a publié dans les Proceedings of the Royal Society une solution du problème
   posé en 1867 déjà ! Il a contacté Hermite, qui lui a conseillé de participer au
   concours avec une version plus détaillée de ses travaux. Smith était alors agé de
   52 ans. Pendant ce temps, un étudiant en mathématiques de Königsberg, Hermann
   Minkowski, a aussi vu avec grand intérêt la mise au concours de l'Académie. Bien
   qu'âgé de 17 ans seulement, il a étudié les travaux de Gauss, Dirichlet et
   Eisenstein, et le sujet l'intéressait vivement. Dès 1881, il s'est mis au
   travail, et il a aussi soumis un mémoire.
   La commission de l'Académie a estimé que "...nous n'avons pu séparer ces deux
   beaux Mémoires...nous ne saurions les présenter l'un sans l'autre aux suffrages
   de l'Académie. Tous les deux en sont également dignes..". et a donc recommandé
   l'attribution du prix aux auteurs de chacun des deux mémoires. Smith n'a
   malheureusement pas vécu assez longtemps pour recevoir son prix, car il est mort
   deux mois auparavant. Mais Hermann Minkowski a bien reçu le prix, ainsi que les
   encouragement des mathématiciens français. En particulier, Camille Jordan lui a
   écrit "travaillez, Monsieur, à devenir un géomètre éminent". Minkowski a suivi
   les conseils de Jordan, et il a apporté des contributions fondamentales à la
   théorie arithmétique des formes quadratiques, à la géométrie des nombres (sujet
   qu'il a lui--même crée) ainsi qu'aux fondements mathématiques de la relativité
   restreinte. Le but de la conférence est de présenter quelques uns de ses travaux,
   et certains des développements plus récents qui leur ont fait suite.


   Eva Bayer-Fluckiger
   Eva Bayer--Fluckiger est professeur à l'Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne.
   Elle a publié environ 50 articles de recherche sur des sujets d'algèbre, de
   théorie des nombres et de topologie. Elle est lauréate du prix Maria Sybilla
   Merian, 2001.
   10.05.2006 BnF, Paris BnF, Paris
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